Zeigen, dass es eine natürliche Zahl no gibt, sodass.... Könnt ihr mir helfen? 2^n ≥ n^2

Question

natürliche Zahl Hilfe könnt ihr mir helfen?

Man beweise, dass es eine naturliche Zahl $$n_{0}\geq 21001$$ gibt , so dass fur alle naturlichen Zahlen $$n\geq n_{0}\geq 2^{1001}$$ gilt:     $$2^{n}\geq n^{2}$$

Comments

TeX-Code muss in doppelte $-Zeichen eingebettet werden. Ich hab das mal gemacht. Aber die Aufgabe scheint nicht richtig zu sein... was steht hinter $$n_0 \geq$$?

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hinter n0 steht größer/gleich 21001

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Wieder mal Uni-Siegen Ana I ;)

Probiers mal mit dem Induktiosverfahren.
Für n=2¹⁰⁰¹ wird ja schnell klar, dass 2ⁿ>n² ist. Das wäre der dann der Induktionsanfang. Anschließend musst du zeigen, dass daraus folgt, dass es auch für alle n+1 gilt.

Noch ein Tipp: Abschätzen.

Ich hoffe du kannst was damit anfangen :)

Answer 1

Da n≥ 2¹⁰⁰¹ sein soll ist es logisch für den Induktionsanfang eben jene Zahl zu nehmen.

Also: 2^{2^1001}≥ 2^{1001^2}, denn 2¹⁰⁰¹>1001²

IS: A(n)⇒A(n+1)

2ⁿ⁺¹ ≥ (n+1)²

⇔2 · 2ⁿ ≥ n² + 2n +1

Für 2ⁿ kann man nun durch die Induktionsvoraussetzung n² einsetzen.

Den Rest kannst du dann mal alleine Probieren, ist nicht mehr so schwer und denk daran n≥2¹⁰⁰¹

Grüße

Fuchs