Sei B das Inverse der Matrix A.
Dann gilt:
$$ \begin{pmatrix} a_{11} & \dotsm & a_{1n} \\ \vdots &&\vdots\\ a_{n1} & \dotsm & a_{nn}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & \dotsm & b_{1n} \\ \vdots &&\vdots\\ b_{n1} & \dotsm & b_{nn}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & & 0 \\ &\ddots& \\ 0 & & 1\end{pmatrix} = E_n$$
Überleg dir mal warum das äquivalent zu
$$ \begin{pmatrix} a_{11} & \dotsm & a_{1n} \\ \vdots &&\vdots\\ a_{n1} & \dotsm & a_{nn}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{1i}\\ \vdots\\b_{ni} \end{pmatrix} = e_i \quad \forall i=1,...,n$$
ist . Auf diese n Gleichungssystem kannst du jetzt die Cramersche Regel anwenden. Und erhältst dann für die \(b_{ij}\) jeweils einen Bruch aus 2 Determinanten. Der Nenner ist 1 oder -1 (die Determinante von A). Im Zähler steht die Determinante einer ganzzahligen Matrix, also ist auch die Determinante ganzzahlig. Eine ganze Zahl durch 1 oder -1 bleibt eine ganze Zahl, also \(b_{ij}\in\mathbb{Z}\)
Das ist die Idee, die Details solltest du damit jetzt selbst ausschmücken können.
