polstellen,nullstellen und hebbare unstetigkeiten einer funktion bestimmen

Question

Ich muss die Nullstellen, Polstellen und hebbare unstetigkeiten einer Funktion bestimmen. Könntet Ihr mir kurz anhand dieser Aufgabe erklären wies gehen soll?  (nur die Rechenwege kurz vorzeigen)

Aufgabe:
Bestimmen Sie die Nullstellen, Polstellen und hebbaren Unstetigkeiten der gebrochenrationalen Funktion f(x)= (x^2+x-2) / ( x^3-x) .

Ich bin mir unsicher: 1) Funktion im Zähler =0 setzen. Da kommt bei mir 2; -1 raus. Im Nenner dasselbe : 0; 1. Das im Zähler sind die NST und die im Nenner sind die Polstellen ??? Sind die Lösungen richtig ?

Vielen dank im voraus :)

Answer 1

Zähler und Nenner in Linearfaktoren zerlegen: ((x-1)(x+2))/(x(x-1)(x+1)).Definitionsbereich ist ℝ bis auf die Nullstellen des Nenners.Da (x-1) aus demFunktionsterm gekürzt werden kann,ist die Stelle x=1 hebbare Definitionslücke.

Comments

kurzgefasst: NST: x = 2 ;Polstelle: x=1;hebbare unstetigkeit bei x= -1 ?

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Die Stelle x=1 hebbare Definitionslücke.

Du hattest von Anfang an falsche Vorzeichen bei den Nullstellen des Zählers.

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Mit den Vorzeichen läuft da etwas von Anfang an falsch.

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vielen dank. hab jetzt hebbare Unstetigkeit bei x= 1; NST: x=-2 ; Polstelle:x=-1. Sorry, komme total durcheinander.

Answer 2

Ich rechne das mal durch:

$$ \frac{x^2+x-2}{x^3-x} $$

Zuerst die NS:

$$ x^2+x-2= 0 $$

PQ-Formel liefert:

$$ x_1 = 1 , x_2 = -2 $$

Einsetzen in Nenner:

$$ (1)^3-(1)=0 $$

$$ (-2)^3-(-2)=-6 \neq 0, NS $$

Weiter gehts mit den Polen:

$$x^3-x = 0 $$

$$x_3=0, x_4=1, x_5=-1 $$

In den Zähler einsetzen:

$$ (1)^2+(1)-2=0, HS $$

$$ (-1)^2 + (-1) -2 = -2, PS $$

$$ (0)^2 + (0) -2 = -2, PS $$

Zusammenfassend:

Nullstelle bei: -2
Polstellen bei: -1 und 0
Hebbrar bei: 1

Skizze:

~plot~ (x^2+x-2)/( x^3-x) ~plot~