zu a)
Richtig, die erste Funktion ist in Normalform.
Man kommt auf diese Funktion, wenn man in die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel
y = f ( x ) = a x ² + b x + c
die Koordinaten dreier Punkte einsetzt, die man aus der Zeichnung ablesen kann. Man erhält dann ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit den Unbekannten a, b und c. Löst man dies, dann erhält man die Werte der Parameter a, b und c und kann diese in die allgemeine Parabelgleichung einsetzen. Dadurch erhält man die konkrete Gleichung für das hier betrachtete Beispiel.
Vorliegend kann man die Punkte ( 0 , 0 ) , ( 75, 45 ) und ( 150 , 0 ) aus der Zeichnung ablesen, sofern man etwas von Parabeln versteht :-)
Daraus ergeben sich die Gleichungen
0 = a * 0 ² + b * 0 + c <=> c = 0
45 = a * 75 ² + b * 75 + 0
0 = a * 150 ² + b * 150 + 0
Aus der ersten Gleichung ergab sich sofort: c = 0 . Das habe ich dann bei den beiden anderen Gleichungen gleich so benutzt (jeweils + 0 am Ende).
Aus den beiden anderen Gleichungen ergibt sich a = - 0,008 und b = 1,2 (das rechne ich jetzt mal nicht vor).
Setzt man a = - 0,008 , b = 1,2 und c = 0 in die allgemeine Parabelgleichung ein, erhält man:
f ( x ) = -0,008 x ² + 1,2 x + 0
und das ist gerade die erste Funktion.
Bei der zweiten Funktion sollte es sicher heißen:
f ( x ) = - 0,008 ( x - 75 ) ² + 45
Das ist nämlich die Scheitelpunktform einer Parabel mit dem Scheitelpunkt S ( 75 | 45 ), dessen Koordinaten man aus der Zeichnung ablesen kann.
Kennt man den Scheitelpunkt (xs | ys ) einer Parabel, dann kann man sofort die Gleichung
f ( x ) = a * ( x - xs ) ² + ys
hinschreiben, vorliegend also:
f ( x ) = a * ( x - 75 ) ² + 45
Um nun den Wert des Parameters a zu bestimmen, muss man auch hier die Koordinaten eines weiteren Punktes der Parabel einsetzen (nicht die des Scheitelpunktes, der wurde ja schon verwendet!), z. B. den Punkt ( 0 , 0 ).
Man erhält:
0 = a * ( 0 - 75 ) ² + 45
<=> - 45 = a * ( - 75 ) ²
<=> - 45 = a * 5625
<=> a = - 45 / 5625 = - 0,008
Eingesetzt obige Gleichung in Scheitelpunktform erhält man:
f ( x ) = -0,008 ( x - 75 ) ² + 45
und das ist grade die zweite Gleichung.
Übrigens: Durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen kann man die Scheitelpunktform einfach in die Normalform überführen und so die Gleichheit beider Funktionen prüfen.
zu b)
Nun, wenn der Ball 80 Meter braucht, um seine maximale Höhe zu erreichen, dann braucht er bei einer parabelförmigen Flugbahn wegen der Symmetrie einer Parabel weitere 80 Meter, um wieder am Boden anzukommen. Er landet dann also in einer Entfernung von 160 Metern vom Abschlagplatz.
zu c)
Wenn der Ball bei 80 Metern eine maximale Höhe von 50 Metern erreicht, dann hat sein Scheitelpunkt also die Koordinaten (80 , 50 ). Somit kann man sofort hinschreiben:
f ( x ) = a ( x - 80 ) ² + 50
Zur Bestimmung des Parameters a setzt man wieder den Punkt ( 0 , 0 ) ein, der ja ebenfalls zur Parabel gehört und erhält:
0 = a ( - 80 ) ² + 50
<=> - 50 = 6400 a
<=> a = - 50 / 6400 = - 0,0078125
Somit lautet die gesuchte Funktionsvorschrift::
f ( x ) = - 0,0078125 ( x - 80 ) ² + 50
