Hallo immai,
ganz schnell wg keine Zeit:
Die Basis \(B\) besteht aus zwei orthogonalen Vektoren aus der Ebene und dem Normalenvektor. Der dritte Spaltenvektor ist der Normalenvektor der Ebene. Und das ganze noch normieren: $$B= \begin{pmatrix}0 & -1/\sqrt{3}& -2/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{3}& -1/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{2}& -1/\sqrt{3}& 1/\sqrt{6}\end{pmatrix}$$
Die Diagonalmatrix \(D\) ist zwangsläufig $$D=\begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{pmatrix}$$ da dies eine Spiegelung an einer Ebene ist. \(\varphi\) ist eine Multiplikation mit einer Abbildungsmatrix \(A\). D.h.: $$E \varphi(E) = A$$ und da $$D = B^T \cdot A \cdot B$$ ist (siehe auch hier), muss sein: $$A = B \cdot D \cdot B^T = \frac 13\begin{pmatrix}-1& -2& 2\\ -2& 2& 1\\ 2& 1& 2\end{pmatrix}$$
Und zur Veranschaulichung das ganze mit Geoknecht3D dargestellt.
