die Kosten des Unternehmens sollen minimiert werden und dies ist auch die Hauptbedingung. Die Kosten \(\Lambda\) sind vom Einsatz von Kapital \(K\) und Arbeit \(L\) abhängig. Aus den angegebenen Preisen ergeben sich hier die Kosten aus: $$\text{HB}: \space \Lambda (K,L) = p_K \cdot K + p_L \cdot L = 14 K + 0,85L$$ Die Nebenbedingung ergibt sich aus der Anforderung 320ME zu produzieren. Dies ist durch die Produktionsfunktion gegeben: $$F(K,L) = K + L^{0,4} = 320 \\ \text{NB:} \space K + L^{0,4} - 320 = 0$$ Daraus folgt die Lagrange-Gleichung: $$\Lambda(K,L,\lambda) = 14 K + 0,85L + \lambda(K + L^{0,4} - 320)$$Nun Ableiten nach \(K\) und \(L\) und zu 0 setzen$$\frac{\partial \Lambda}{\partial K} = 14 + \lambda = 0 \quad \implies \lambda=-14 \\\frac{\partial \Lambda}{\partial L} = 0,85 + 0,4 \lambda L^{-0,6} = 0$$ \(\lambda\) von oben einsetzen$$\begin{aligned} 0,85 + 0,4(-14) L^{-0,6} &= 0 \\ L^{-0,6} &= \frac{0,85}{5,6} \\ L &\approx 23,15\end{aligned}$$Einsetzen in die Nebenbedingung (NB)$$\begin{aligned} K + 23,15^{0,4} - 320 &= 0 \\ K &= 320 - 23,15^{0,4} \\ K&\approx 316,5\end{aligned}$$Gruß Werner
