Lösungen dieser Exponentialgleichung? x * 2^x -1 = 0

Question

x * 2^x -1 = 0

wie löse ich diese Gleichung ?

Comments

Woher stammt denn diese Gleichung?

---

aus einer Hausaufgabe, wieso ?

---

Die Gleichung lässt sich nicht analytisch lösen. Es müssen also irgendwelche anderen Hilfsmittel zum Einsatz kommen. Daher ist nützlich, den Stoffzusammenhang und die genaue Aufgabenstellung zu kennen.

---

Da gebe ich Gast recht, für den schulischen Bereich ist das eig. ungewöhnlich.

Answer 1

ist leider etwas komplizierter:

\(x\cdot 2^x-1=0 \Rightarrow x=\dfrac{W(\ln(2))}{\ln(2)}\), wobei W(x) die Lambertsche W-Funktion ist. 

Die inverse Funktion von \(x\cdot e^x\) ist \(W(x)\), sprich \(W(x)\cdot e^{W(x)}=x\). Allerdings hast du nun \(2^x\), weswegen du im Argument den Logarithmus naturalis der Basis hast. Theoretisch noch *b, aber da b=1 ist, kann man das weglassen ( \(b=x\cdot a^x \Rightarrow x=\dfrac{W(b\cdot \ln(a))}{\ln(a)}\) ).

Answer 2

analytisch nicht lösbar, vor allem  auf Schulniveau. Man kann die Gleichung als Fixpunktgleichung  schreiben und näherungsweise lösen.

x=1/2^x=phi(x)

Startwert: x_1=1/2

es ist x_(n+1)=phi(x_n)

x_2=0.707

x_3=0.613

x_4=0.653

x_5=0.636

Weitere Schritte ergeben eine höhere Präzision.