Nutzenfunktion eines Individuums

Question

Hallo liebe Mathelounge Community, kann mir bei dieser Aufgabe bitte jemand helfen?

Vielen Dank im Voraus und ich wünsche euch jetzt schon frohe Weihnachten :)

Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet U(x1,x2)=20⋅ln(x1)+50⋅ln(x2). Gegeben sind die Preise der beiden Güter p1=1.5 und p2=2 sowie das zur Verfügung stehende Einkommen in Höhe von I=150. Optimieren Sie den Nutzen des Individuums unter Beachtung seiner Konsummöglichkeiten.


a. Im Nutzenoptimum bei gegebener Budgetrestriktion ist die Menge x1=50.00.


b. Im Nutzenoptimum bei gegebener Budgetrestriktion ist die Menge x2=53.57.


c. Das maximal zu erreichende Nutzenniveau U(x1,x2) bei gegebener Budgetrestriktion liegt bei 266.10.


d. Erhöht man das Einkommen I um 245 GE, so beträgt die optimale Menge für x1 68.57 Einheiten.


e. Das optimale Faktoreinsatzverhältnis von x1 zu x2 vor der Einkommenserhöhung beträgt 0.53.

Answer 1

Lagrangefunktion ist  (mit x, y statt x1 x2 )

L =  20ln(x) +50ln(y) + λ (1,5x + 2y - 150 )  gibt Ableitungen

20/x + 1,5λ = 0  und 50/y + 2λ = 0 und  1,5x + 2y - 150=0

1 und 2 gibt   20/x + 1,5 * (-25/y ) = 0

also y = 15/8 * x in   1,5x + 2y = 150  gibt x= 28,57 und y=53,57

also a falsch und b richtig.