Sn die symmetrische Gruppe auf der Menge {1,2,..,n}. Teilbeweis, dass Signum wohldefiniert ist

Question

kann mir jemand sagen, ob das so richtig ist? Vielen Dank vorab! (Ich hoffe es ist verständlich)

Aufgabe:

Sei Sn die symmetrische Gruppe auf der Menge {1,2,..,n}. Sei σ ∈ S_n und σ = T₁ o T₂ o .. o T_n eine Darstellung von σ als Produkt von Transpositionen Ti. Zeigen Sie, dass die folgendermassen definierte Funktion sgn: S_n -> {-1,1}, σ ->(-1)^m wohldefiniert ist.

Zeigen Sie: Sei s die Anzahl der Zyklen in einer Zerlegung der Permutation σ in disjunkte Zyklen, wobei die Fixpunkte als Zyklen der Länge 1 mitgezählt werden. Sei σ = T₁ o .. o T_r, wobei T_i Transpositionen sind. Zeigen Sie per Induktion nach r, dass r Ξ n - s mod 2 ist.

Problem/Ansatz:

Sei σ = T₁ o T₂ o .. o T_r mit Transpositionen T_i. Andererseits sei σ = T₁ o T₂ o .. o T_n = ζ₁ .. ζ_s die Zerlegung in disjunkte Zykel (vollständig, also einschließlich aller Zykel der Länge 1). Multipliziert man nun σ von links mit einer Transposition T = (a b), so gibt es zwei Fälle: 

1) a und b sind im selben Zykel enthalten. Dann kann man, da die Zykel kommutieren, annehmen, dass dies der erste ζ₁ = (a₁ .. a_k) ist, und a = a₁, b = a_i. Dann bewirkt Tσ 

a₁ -> a₂ -> a₂

...

a_i-1 -> a_i -> a₁
a_i -> a_i+1 -> a_i+1
...
a_k -> a₁ -> a_i

Also ist Tσ = (a₁ .. a_i-1)(a_i .. a_k)ζ₂ .. 

2) a und b sind im verschiedenen Zykeln enthalten. Dann kann man annehmen, dass dies die ersten beiden ζ1 = (a₁ .. a_k) und ζ₂ = (b₁ .. b₂) sind, und a = a₁, b = b₁. Dann ist Tσ = (a₁ .. a_kb₁ .. b_l)ζ₃..

Die Zykelzahl hat sich also um 1 erhöht oder um 1 verringert, ist also s +-1. Multipliziert man nun von links mit einer weiteren Transposition, so wird die Zykelzahl zu s+2, s oder s-2. Hat man q Transpositionen von links dranmultipliziert, sind es s+t_q Zykel, wobei t_q Ξ q (mod 2). Das Produkt T_s...T₁σ hat also s+t_r Zykel mit t_r Ξ r (mod 2). Da es aber identische Abbildungen σ^-1σ ist, ist r+ts = n. Also ist r  Ξ n - s (mod2), egal mit welcher Zerlegung.

Comments

sgn: S_n -> {-1,1}, σ ->(-1)^m

Was ist m? Laut mir bekannten Definitionen ist das

• die Anzahl der Zykel gerader Länge in einer disjunkten Zykeldarstellung von σ,
• die Anzahl der Fehlstandspaare in σ,
• die Anzahl der Transpositionen in σ.

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Hallo oswald,

mir ist ein Fehler unterlaufen bei der Aufgabenstellung: 

Sei S_n die symmetrische Gruppe auf der Menge {1,2,..,n}. Sei σ ∈ Sn und σ = T₁ o T₂ o .. o T_m eine Darstellung von σ als Produkt von Transpositionen Ti. Zeigen Sie, dass die folgendermassen definierte Funktion sgn: S_n -> {-1,1}, σ ->(-1)^m wohldefiniert ist.

m kommt lediglich im Zusammenhang der Darstellung des Produkts von Transpositionen auf, eine weitere Info gibt es nicht.