Aufgabe:
Auf Grund langjähriger Beobachtungen kann man davon ausgehen, dass die mittlere Lufttemperatur (in Grad Celsius) im Monat Mai in Karlsruhe näherungsweise \(N(14,4)\)-verteilt ist.
\(X_1, X_2, X_3, X_4\) bezeichnen die mittleren Lufttemperaturen des Monats Mai in den nächsten vier Jahren. Sie können dabei annehmen, dass die Temperaturen in den einzelnen Jahren unabhängig voneinander sind.
e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit \(p_4\), dass der Durchschnitt der Mai-Temperaturen in den nächsten vier Jahren (also \(\frac{1}{4}\cdot (X_1+X_2+X_3+X_4)\)) höchstens 16 Grad Celsius beträgt?
f) Bestimmen Sie die Verteilung der Zufallsvariablen \(Z:=1+2\cdot X_1 - 3\cdot X_4\)
Problem/Ansatz:
zur e) Sei \(Y:=X_1+X_2+X_3+X_4\) und \(Y\sim N(4\cdot 14,4\cdot 4) = N(56,16)\). Nach Aufgabenstellung müsste die Wahrscheinlichkeit doch dann \(\frac{1}{4}\cdot Y\) gelten, also \(N(14,4)\)-verteilt sein. In der Lösung die mir zu dieser Aufgabe vorliegt, steht allerdings, dass \(\frac{1}{4}\cdot Y\sim N(14,1)\) und nicht \(N(14,4)\). Habe ich da irgendwo einen Denkfehler gemacht oder ist die Lösung einfach falsch? Mit der anderen Verteilung kommt bei mir dann nämlich logischerweise eine andere Wahrscheinlichkeit heraus.
zur f) Auch hier verstehe ich die mir vorliegende Lösung nicht. In dieser steht nämlich, dass \(Z=1+2\cdot X_1-3\cdot X_4\sim N(1+2\cdot 14-3\cdot 14, 4\cdot 4+9\cdot 4)=N(-13,52)\) ist. Wie ich auf die -13 komme ist mir auch klar, das erscheint mir auch noch logisch. Aber wie komme auf die 52? Nach meinem Verständnis müsste das doch \(Z\sim N(1+2\cdot 14-3\cdot 14, 0 + 2 \cdot 4 - 3\cdot 4) = N(-13, -4)\) sein? Oder habe ich auch hier einen Denkfehler?
Für eure Hilfe am Silvesternachmittag danke ich euch jetzt schon mal und wünsche euch noch ein frohes neues Jahr.
