Wertetabelle eines Isomorphismus angeben

Question

Hallo :) Wäre super wenn mir jemand helfen könnte.

Man weiß, dass die Ringe Z/mZ×Z/nZ und Z/mnZ isomorph sind, wenn m und n teilerfremd sind.

Gib einen Isomorphismus ϕ : Z/b2Z×Z/5Z→Z/10Z als Wertetabelle an.

Danke schon mal !

Answer 1

ϕ : Z/2Z×Z/5Z→Z/10Z

 (0,0)  → 0*5+0 = 0 
 (0,1)   → 0*5+1 = 1
 (0,2)   → 0*5+2 = 2
 (0,3)    → 0*5+3 = 3
 (0,4)    → 0*5+4 = 4
(1,0)    → 1*5+0 = 5
 (1,1)  → 1*5+1 = 6 
 (1,2) ---> 1*5+2 = 7
 (1,3)  ---> 1*5+3 = 8
 (1,4)   → 1*5+4 = 9 

Comments

ein kleiner Fehler bei:  (0,3)→ 0*5+3 = 3

Also mir ist klar, dass die Werte 0-9 rauskommen müssen, aber wieso muss ich das so rechnen?

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Damit es ein Isomorphismus ist , reicht ja nicht "bijektiv", es muss auch

strukturverträglich sein.  Also es muss

F( (a,b) * (c,d) ) = F(a,b) * F ( c,d) sein und entsprechend mit +.

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aber wieso jeweils mal fünf nehmen ? müsste ich dann nicht auch (0,0) -> 0*5 + 0*2 ?

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Ich hatte da so etwas probiert, wie es Strukturverträglich ist.

Geht vielleicht auch anders.