lineare Unabhängigkeit prüfen und Basis des Spanns der drei Vektoren angeben

Question

Entscheiden Sie, ob die folgenden Vektoren im R³ linear unabhängig sind und geben Sie
eine Basis ihres Spanns an.
 1           −1        1

(2)        ( 1 )      (1)
 1    ,       2     ,   0

#Überlegung:

Ich hab ein LGS mit den Vektoren aufgestellt, wodurch eine Nullzeile entstand also unendlich viele Lösungen.

--> linear abhängig sind die Vektoren.

und wie bestimme ich jetzt die Basis 

Answer 1

So wie es aussieht hast du die Ortsvektoren:$$\vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \vec{b}=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\2  \end{pmatrix} \quad \vec{c}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Berechne die 3x3-Determinant mit der Regel von Sarrus:$$|D|= \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Da die Determinant \(=0\) ist, sind die Vektoren linear abhängig. Du kannst natürlich auch das LGS aufstellen:$$\lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Daraus folgt:$$\begin{aligned} \lambda_1 -\lambda_2 + \lambda_3 &= 0 \\ 2\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 &= 0 \\ \lambda_1 + 2\lambda_2 = 0 \end{aligned}$$ Das ist relativ easy zu lösen. → undl. viele Lösungen.

Comments

aber wenn die Vektoren linear abhängig sind kann ich sie doch nicht als Basis darstellen oder?

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Richtig. Eine Basis eines Vektorraums ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Entweder du hast etwas falsch abgeschrieben, ich liege falsch oder die Aufgabe ist falsch?

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Vielleicht entscheidest Du dich auf einfach dazu, keine Basis ihres Spanns anzugeben, weil du entschieden hast, ob sie lin. ab- bzw. unabhängig ist.

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... geben Sie eine Basis ihres Spanns an.

Eine Teilmenge von Vektoren eines VR "spannt" immer einen Unterraum des VR auf.

Für dessen Basis nimmt man die Maximalzahl der linear unabhängigen Vektoren der Menge,

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Okay, das wusste ich nicht. Gut, dass Du das hinzufügst.

Answer 2

wähle 2 der drei Vektoren als Basis.

Comments

ok danke:)

also bei meinem Gleichungssystem kommt wie gesagt heraus dass alle linear abhängig seien, aber meine Lösung sagt das sie lin. unabhängig sind

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Ich habs jetzt nicht nach gerechnet, aber Racine hat ja gezeugt, dass die Determinante =0 ist. Also sind die Vektoren linear abhängig. Da die Vektoren jeweils keine Vielfachen voneinander sind, spannen sie eine Ebene auf. Somit bilden jeweils 2 der 3 gegebenen Vektoren eine Basis des Spanns.

Vielleicht hast du die Lösung falsch zugeordnet.

Answer 3

Wegen der mehr oder minder offensichtlichen, jedenfalls aber leicht zu ermittelnden, Beziehung $$2\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} -3\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\2  \end{pmatrix} $$ist die lineare Abhängigkeit des Vektortripels auf einfache Weise einzusehen. Da die Vektoren offenbar paarweise linear unabhängig sind, bilden zwei beliebige der drei Vektoren eine Basis des Spannraumes.

(Determinanten, Sarrus, Eigenvektoren oder Wolframalpha werden nicht benötigt.)

Answer 4

Die Lösungen in deinem Buch kannst du auch maschinell kontrollieren. Z.B. so https://www.wolframalpha.com/input/?i=((1,+++++++++++−1,++++++++1),(++2,+++++++++1+,++++++1)+,(++1++++,+++++++2+++++,+++0))

Determinante ist 0. D.h. die drei Spaltenvektoren sind linear abhängig.

Als Basis des aufgespannten Raumes kannst du auch die beiden Eigenvektoren nehmen, wenn du sie bereits ausgerechnet hast. D.h.