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Für welche reellen Zahlen gelten folgende Beziehungen?

a) \( 1 + | x | \leq \frac { 3 } { 2 } \)

b) \( \frac { 2 + | x | } { | x + 2 | } < 2 \)

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hi

a)

1 + |x| <= 3/2

a1)

x >= 0 ⇒ |x| = x

1 + x <= 3/2

x <= 1/2

a2)

x < 0 ⇒ |x| = -x

1 - x <= 3/2

-x <=  1/2

x >= -1/2

insgesamt gilt: -1/2 <= x <= 1/2

b)

(2 + |x|)/(|x+2|) < 2   ⇒ x ≠ 2 und x ≠ -2

wir unterscheiden 4 fälle

b1)

x >= 0, x + 2 >= 0 ⇒ x >= -2 ⇒ x > -2, weil  x ≠ -2

2 + x < 2(x+2)

x > -2

wir bilden die schnittmenge aus den bedingungen(x >= 0, x > -2) und aus der

lösung (x > -2), der ersten fallunterscheidung.

x >= 0 ∩ x > -2 ∩ x > -2 = x >= 0

die schnittmenge ist x >= 0

b2)

x >= 0, x - 2 < 0 ⇒ x < -2

2 + x < 2(-x-2)

x < -2

wir bilden die schnittmenge aus den bedingungen(x >= 0, x < -2) und aus der

lösung (x < -2), der zweiten fallunterscheidung.

x >= 0 ∩ x < -2 ∩ x < -2 = {}

die schnittmenge ist die leere menge.

b3)

x < 0, x + 2 >= 0, ⇒ x > -2

2 - x > 2(x+2)

x > -2/3

wir bilden die schnittmenge aus den bedingungen(x < 0, x > -2) und aus der

lösung (x < -2/3), der dritten fallunterscheidung.

x < 0 ∩ x > -2 ∩ x < -2/3 = -2/3 < x < 0

die schnittmenge ist -2/3 < x < 0

b4)

x < 0, x + 2 < 0 ⇒x < -2

2 - x < 2(-x -2)

x < -6

wir bilden die schnittmenge aus den bedingungen(x < 0, x < -2) und aus der

lösung (x < -6), der dritten fallunterscheidung.

x < 0 ∩ x < -2 ∩ x < -6 = x < -6

für das endergebnis werden die lösungsmengen der vier fälle vereiningt:

x >= 0 ∪ {} ∪ x > -2/3 ∪ x < -6 = x < -6 ∪ x > -2/3

also x < -6 und x > -2/3
Avatar von 11 k

Warum soll bei (b)  x ≠ 2  sein?
In der letzten Zeile sollte es oder statt und heißen.

"Warum soll bei (b)  x ≠ 2  sein?"

da habe ich mich verrechnet, das kann man also streichen.

"In der letzten Zeile sollte es oder statt und heißen."

es gilt die beziehung x <- 6 und es gilt die beziehung x > -2/3.

ein einzelnes x kann dann natürlich nur < -6 oder > -2/3 sein.

wie gibt man das formal richtig an?

einfach nur

x < - 6, x > -2/3

?

ah, okay.

x < - 6 oder x > -2/3

lange leitung ... :D

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