hi
a)
1 + |x| <= 3/2
a1)
x >= 0 ⇒ |x| = x
1 + x <= 3/2
x <= 1/2
a2)
x < 0 ⇒ |x| = -x
1 - x <= 3/2
-x <= 1/2
x >= -1/2
insgesamt gilt: -1/2 <= x <= 1/2
b)
(2 + |x|)/(|x+2|) < 2 ⇒ x ≠ 2 und x ≠ -2
wir unterscheiden 4 fälle
b1)
x >= 0, x + 2 >= 0 ⇒ x >= -2 ⇒ x > -2, weil x ≠ -2
2 + x < 2(x+2)
x > -2
wir bilden die schnittmenge aus den bedingungen(x >= 0, x > -2) und aus der
lösung (x > -2), der ersten fallunterscheidung.
x >= 0 ∩ x > -2 ∩ x > -2 = x >= 0
die schnittmenge ist x >= 0
b2)
x >= 0, x - 2 < 0 ⇒ x < -2
2 + x < 2(-x-2)
x < -2
wir bilden die schnittmenge aus den bedingungen(x >= 0, x < -2) und aus der
lösung (x < -2), der zweiten fallunterscheidung.
x >= 0 ∩ x < -2 ∩ x < -2 = {}
die schnittmenge ist die leere menge.
b3)
x < 0, x + 2 >= 0, ⇒ x > -2
2 - x > 2(x+2)
x > -2/3
wir bilden die schnittmenge aus den bedingungen(x < 0, x > -2) und aus der
lösung (x < -2/3), der dritten fallunterscheidung.
x < 0 ∩ x > -2 ∩ x < -2/3 = -2/3 < x < 0
die schnittmenge ist -2/3 < x < 0
b4)
x < 0, x + 2 < 0 ⇒x < -2
2 - x < 2(-x -2)
x < -6
wir bilden die schnittmenge aus den bedingungen(x < 0, x < -2) und aus der
lösung (x < -6), der dritten fallunterscheidung.
x < 0 ∩ x < -2 ∩ x < -6 = x < -6
für das endergebnis werden die lösungsmengen der vier fälle vereiningt:
x >= 0 ∪ {} ∪ x > -2/3 ∪ x < -6 = x < -6 ∪ x > -2/3
also x < -6 und x > -2/3
