Aufgabe:
\( \begin{array} { c } { \text { Sei \( \equiv \) die Relation auf } \mathbb { Z } \text { definiert durch } } \\ { \forall x , y \in \mathbb { Z } : ( x \equiv y : \Leftrightarrow x - y \text { ist gerade } ) } \end{array} \)
Problem/Ansatz:
Ich habe gezeigt dasses eine Äquivalenzrelation ist, aber ich wollte prüfen ob es noch andere Eigenschaften wie zum Beispiel
total:⇔ ∀a,b ∈ ℤ ⇔ aRb ∨ bRa
erfüllt.
Eine Relation R ist ja eine Teilmenge des Kartesischen Produkts, in diesem Fall ist R ⊂ ℤ×ℤ.
Ich finde tatsächlich geordnete Zahlenpaare, für die die Totalität stimmt.
Ein Beispiel:
a=2, b=4
2-4 / 2 = m1
-2/2 = m1
-2 = m1 * 2
Dann muss aber auch folgendes gelten:
4-2 / 2 = m2
2/2 = m2
2 = m2 * 2
Nur das Vorzeichen des m1 = (-1) wurde zu m2= (+1) geändert.
Problem 2:
Ich finde aber auch ein Beispiel, das nicht stimmt.
a = -1
b = -2
ergibt geordnetes Zahlenpaar (-1, -2) was in ℤ×ℤ ist.
Aber:
-1 - (-2) / 2 = m3
-1 + 2 / 2 = m3
1/2 = m3 ⇒ m3 ∉ ℤ.
Dasselbe mit (bRa).
-2 - -1 / 2 = m4
-2 + 1 / 2 = m4
-1 / 2 = m4 ⇒ m4 ∉ ℤ.
Frage:
Es gibt Zahlenpaare für die ist die Aussage der Totalität wahr,
es gibt aber auch Zahlenpaare für die ist die Aussage der Totalität falsch.
Ist es jetzt eine Relation oder nicht ?
Ich habe ganz generell Schwierigkeiten mit dem weil ich weiss dass R eine Teilmenge ist, aber weil das für alle a,b stimmen muss, bin ich mir nie ganz sicher ob es letzendendes eine Forderung der Relation erfüllt oder nicht.
Ich hatte zb heute den Fehler gemacht und x-y I ist ungerade als reflexiv anerkannt, weil x-x = 0 und 0 ist teilbar durch 2k+1.
Aber der Übungsleiter meinte dass gilt x-x = 0 und 0 ist teilbar durch 2 und die Reflexivität somit für x-y ist ungerade nicht gilt.
