Abelsche Gruppe mit mehren Elementen und nicht reellen Zahlen

Question

Aufgabe:

Gib eine abelsche Gruppe an, die mehr als ein Element enthält und dessen Elemente keine reelle Zahlen sind und beweise, dass es sich um eine Gruppe handelt.

Problem/Ansatz:

Wenn die Elemente keine reelle Zahlen sind, fällt es schwer einen konkreten Beweis zu fühen, ohne sturr die Definition runterzuschreiben.

Für die Gruppen gibt es ja die berühmten Axiome:

G1 Halbgruppe (mit H1 "Abgeschlossenheit" und H2 "Assoziativität)

G2 Neutrales Element

G3 Inverses Element

+G4 (für abel'sche Gruppen): Kommutavität, Symmetrie.

Reicht es dann, wenn man als Elemente einfach a und b nimmt und diese miteiander verknüpft, also die Gruppe wäre dann (a,b,∘)

G1: (a ∘ b) ∘ c = a (b ∘c)

G2: a ∘ e = e ∘ a =a, wobei "e" das neutrale Element darstellen soll

G3: a ∘ a^-1 = e

G3: a ∘ b = b ∘ a

Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich's mir hier zu einfach mache, weil normalerweise bestehen Gruppen immer aus so ewas wie "(Z, +)" oder "(R, +)", aber hier sind ja nur irrationale Zahlen erlaubt. Weiß einer weiter?

Eure Marceline
The Vampire-Queen!

Comments

Z.B. die Menge aller bijektiven Abbildungen f:{0,1}→{0,1}.

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Aber 0 und 1 sind doch reelle Zahlen

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Die Gruppenelemente sind Abbildungen, keine Zahlen. Genauso gut wähle die Menge aller bijektiven Abbildungen f:{♠,♣}→{♣,♠}.

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ok, aber f:{0,1}→{0,1} ist doch nur eine Abbildung, or?

Also wie zeigt man dann z.B. Abgeschlossenheit? Weil {0,1}→{0,1} auf {0,1}→{0,1} abgebildet, ist ja wieder f:{0,1}→{0,1}. Und das Neutrale Element wäre einfach 0

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Es gibt zwei solcher Abbildungen. Erstens die identische Abbildung, die 0 auf 0 und 1 auf 1 abbildet. Die andere bildet 0 auf 1 und 1 auf 0 ab.

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Was spricht gegen $$G\left(\left\{e,a\right\},\circ\right)$$mit \(e\) als Neutralem?

Answer 1

Schönes Beispiel ist auch eine Gruppe von Drehungen, etwa um einen festen Punkt die

beiden Drehungen d1 um 180° und d2  um 0°.

Wenn man die hintereinander ausführt  ( Zeichen o ) bekommst du

d1od2=d1    d1od1=d2  d2od1=d1   d2od2=d2

und zeigst leicht, dass  die Gruppenaxiome erfüllt sind.