Aufgabe zur Binomialverteilung

Question

Hallo:) Ich habe die Lösung zu einer Aufgabe, nur ich versteh leider nicht wie man darauf gekommen ist. Wär super wenn mir das jemand erklären könnte.

Die Sprossen einer in beiden Richtungen unendlichen Leiter seien mit den ganzen Zahlen nummeriert. Ein Frosch sitze anfangs auf Sprosse 0. Nun steigt er an allen Tagen, an denen er gut gelaunt ist, eine Sprosse hoch, an den anderen Tagen eine Sprosse hinab (am Tag 1 bewegt er sich bereits). Die Laune des Froschs am Tag n werde durch unabhängige Zufallsvariablen X_n ∼ Bin(1,p) beschrieben: X_n = 1 bedeute ” gute Laune“. Geben Sie an, wie sich aus den Xn die folgenden Zufallsvariablen ergeben und berechnen Sie jeweils Erwartungswert und Varianz:

 a) Y_n mit Werten ±1 gebe die Höhenveränderung im Tag n an

#Lösung:

E(Y_n) = 2*E(X) -1 /wobei E(X)=p

           =2p-1

V(Y_n)= V(2X_n-1) = 4V(X_n)=4p(1-p)

b) Z_n mit Werten aus Z gebe die Sprosse an, die er am Tag n erreicht. Bestimmen Sie α_n > 0 und β_n so, dass U_n := α_n(Z_n−β_n) Erwartungswert 0 und Varianz 1 hat.

#Lösung

V(Z_n) = 4p(1-p)

Z_n= \( \sum\limits_{k=1}^{n}{Y_k} \)

E(Z_n) = n (2p-1)

V(U_n) = V(α_n(Z_n−β_n)) = 1

               α_n² * V(Z_n) = 1

                  α_n = \( \frac{1}{\sqrt{V(Z_n)}} \)

E(U_n) = E (α_n(Z_n−β_n)) = 0

              α_nE(Z_n)- α_n β_n = 0

               \( \frac{1}{\sqrt{V(Z_n)}} \) E(Z_n) -  \( \frac{1}{\sqrt{V(Z_n)}} \) * β_n = 0  --> β_n = E(Z_n)

U_n = \( \frac{Z_n - n(2p-1)}{2\sqrt{n*p*(1-p)}} \)