Erstmal sollten wir definieren, was eine Basis überhaupt ist, damit wir das dann zeigen können. Dafür können wir die Wikipedia Definition benutzen:
Eine Basis eines Vektorraums V ist eine Teilmenge B von V mit folgenden gleichwertigen Eigenschaften:
1. Jedes Element von V lässt sich als Linearkombination von Vektoren aus B darstellen und diese Darstellung ist eindeutig. (Das hier heisst, B ist ein Erzeugendensystem von V)
2. B ist ein minimales Erzeugendensystem von V, jeder Vektor aus V lässt sich also als Linearkombination aus B darstellen (V ist lineare Hülle von B) und diese Eigenschaft gilt nicht mehr, wenn ein Element aus B entfernt wird.
3. B ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V. Wird also ein weiteres Element aus V zu B hinzugefügt, ist die neue Menge nicht mehr linear unabhängig.
4. B ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V.
1. würdest du also als Gleichung aufschreiben, bzw. lineares Gleichungssystem.
Sei r=(x,y) ein beliebiger vektor in R^2
dann lässt sich r definieren durch c1 * v1 + c2 * v2
also wäre das Gleichungssystem:
I. c1 * 3 - c2 * 4 = x
II. -c1 * 5 + c2 * 6 = y
du kannst hier nach c1 und c2 auflösen und erhältst
c1 = -3x - 2y
c2 = 1/2 (-5x - 3y)
das heisst, ein beliebiger Vektor r=(x,y) aus R^2 lässt sich als linearkombination von v1 und v2 folgendermaßen darstellen:
(x,y) = (-3x-2y)*v1 + 1/2(-5x-3y)*v2
damit wär das erste kriterium erfüllt.
2. Hier kannst zu zeigen, dass sobald du ein element aus deiner Menge {v1,v2} entfernst, du den vektor r=(x,y) nicht mehr als linearkombination von v1 oder v2 darstellen kannst
Konkret heisst das:
wenn wir v1 entfernen, dann gucken wir, ob wir einen beliebigen vektor r=(x,y) in R^2 als linearkombination von v2 darstellen können.
Das ist sehr leicht wiederlegt:
für den vektor r=(0,1) in R^2 kannst du das Gleichungssystem r=c2*v2
I. -4*c2 = 0
II. 6*c2 = 1
nicht lösen, daher muss v1 auf jedenfall in deiner Menge bleiben, damit du beliebige vektoren r=(x,y) als linearkombination darstellen kannst. Jetzt überprüfen wir das, für den fall, dass wir v2 entfernen
wir nehmen wieder den vektor r=(0,1) und versuchen ihn als linearkombination von v1 darzustellen:
I. 3*c1 = 0
II. -5*c1 = 1
hat wieder keine Lösung
also müssen sowohl v1 als auch v2 in deiner "Basis" bleiben, dementsprechend ist deine potentielle Basis ein minimales Erzeugendensystem
Bis hier hin haben wir schonmal kriterium 1 und 2 aus der Definition einer Basis bewiesen.
3. eine Menge heisst linear unabhängig, wenn sich der nullvektor nur dann als linearkombination darstellen kann, wenn alle faktoren 0 sind
also konkret:
(0,0) = x*v1 + y*v2
hat als einzige lösung: x=0 und y=0
hier kannst du wieder das gleichungssystem aufstellen
I. x * 3 - y * 4 = 0
II. -x * 5 + y * 6 = 0
und nach x und y auflösen. du wirst hier dann als lösung x=0 und y=0 erhalten
ich glaube 4. musst du auch gar nicht mehr großartig was zu sagen, weil es sich aus 1. und 3. zusammensetzt
Hoffe ich konnte dir soweit helfen
LG
LanPodder
P.S.
wenn du jemanden kennst, der sich mit Analysis 2 auskennt, bitte leite ihn zu mir weiter :D
