Bestimmen Sie das Fundamentalsystem der homogenen DGL.

Question

Aufgabe:

y''' - 5y'' + 7y' - 3y = 0

- DGL als erste Ordnung schreiben

- Hauptvektoren bestimmen

- Fundamentalsystem aufstellen

- asymtotisch stabil?

Problem/Ansatz:

wie schreibe ich die dgl als 1. Ordnung auf?

hauptvektoren gibt es doch nur bei mehrdimensionalen dgl?

Fundamentalsystem sind doch einfach nur die einzelnen Lösungen?

was heißt asymtotisch stabil?

mfg

Answer 1

Hallo

y=u1

y'=u2=u1'

y''=u3=u2'

y'''=u3'=5u3-7u2+3u1, damit hast du ein System Lin. Dgl erster Ordnung für den Vektor u

Gruß lul

Comments

ok ich habe nun eigenwerte und hauptvektoren (siehe unten)... wie stelle ich die lösung auf? und was heißt asymtotisch stabil?

mfg

Answer 2

Wie schreibe ich die Dgl. als 1. Ordnung auf?

Comments

ok und für die hauptvektoren nun einfach eigenwerte bestimmen und die vektoren finden.

Eigenwerte sind 1 und 3

ich bekomme für v_1 und v_2 folgendes:

v_1= t*(1,1,1) und v_2=t*(1,3,9)

wie stelle ich nun das fundamentalsystem auf?

die lösung wäre ja wie folgt:

\( \begin{pmatrix} y_1\\y_2\\y_3 \end{pmatrix} \)  = e^x*t*v_1 + e^(3x)*t*v_2

und was heißt asymtotisch stabil?

mfg

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sry noch c_1, c_2 und c_3 vor den es und

λ_1 ist n doppelter Eigenwert... also c_1*e^x*v_1 + c_2*e^x*x*v_1