Rückfrage zu " Ist die Matrix invertierbar? (in Z/3Z also: Modulo 3)" Meine Rechnung/Trick

Question

Ich übe gerade das Rechnen mit Restklassen und habe nach einer Beispielaufgabe gesucht, um speziell das Umformen einer Matrix, dessen Elemente Äquivalenzklassen sind, zu üben.

Ich bin auf diese Aufgabe gestoßen:

https://www.mathelounge.de/12565/ist-die-matrix-invertierbar-in-z-3z-also-modulo-3

Komme aber nicht auf die Inverse Matrix, hier meine Rechnung:

2 0 2  1 0 0
1 2 1  0 1 0  2*II -I
2 1 1  0 0 1  III-I

2 0 2  1 0 0
0 1 0  2 2 0
0 1 2  2 0 1 III-II

2 0 2  1 0 0  I-III
0 1 0  2 2 0
0 0 2  0 1 1

2 0 0  1 2 2
0 1 0  2 2 0
0 0 2  0 1 1

Jetzt kommt der "Trick":

In der Lösung in der Ursprungsfrage wechselt Lu den Repräsentanten (von 1 zu 4) in der dritten Zeile, was ich auch noch in der ersten Zeile mache:

2 0 0  4 2 2
0 1 0  2 2 0
0 0 2  0 4 4 

Aber wie komme ich von hier zu???:

1 0 0 2 1 1
0 1 0 2 2 0
0 0 1 0 2 2 

Ich kann ja nicht mit 1/2 multiplizieren, oder?

Hoffe ich habe keine Tippfehler übersehen :)

Answer 1

Doch. Du kannst hier die I. und III. Zeile entweder durch 2 teilen oder mit 1/2 multiplizieren.

Comments

Aber es sind doch alle Einträge in der Matrix Elemente von dem Körper Z₃ , und ich dachte man könnte dann bei den Umformungen auch lediglich mit Elementen aus Z₃ multiplizieren.

Ich habe es bis jetzt so verstanden, dass man beim Gauß-Algorithmus   generell Zeilen/Spalten nur mit Skalaren multipliziere kann, die aus dem gleichen Körper wie die Einträge der Matrix kommen und ungleich 0 sind. Ist das nicht der Fall?

---

Du darfst aber auch durch Elemente aus Z3 teilen oder nicht. Und eine Teilung durch 2 ist ja äquivalent mit einer Multiplikation mit 1/2.

---

Ich glaube ich habe es kapiert:

Wenn ich den Thread( https://www.onlinemathe.de/forum/Division-im-Koerper-mit-5-Elementen )  zur Orientierung nutze, dann komme ich auf:

1/2 =2 , denn 1=2*x=2*2 => x=2

Dabei habe ich die Definition bei Wikipedia von der Division ( https://de.wikipedia.org/wiki/Division_(Mathematik)#Definition ) genutzt:

a teilt b, wenn ein x∈K existiert, sodass b=a*x.

a=2, b=1, K=Z₃

Also:

2 0 0  4 2 2   *2
0 1 0  2 2 0
0 0 2  0 4 4  *2

4 0 0  8 4 4 
0 1 0  2 2 0
0 0 4  0 8 8 

4 durch 1 ersetzten, 8 durch 2 ersetzen

1 0 0  2 1 1
0 1 0  2 2 0
0 0 1  0 2 2 

Somit muss ich nur indirekt mit 1/2 multiplizieren bzw. durch 2 dividieren.

Oder?

---

Genau. Der Trick war allerdings vorher die 1 durch die 4 zu ersetzen, damit man teilen kann.