Schnittwinkel Gerade/Koordinatenebene

Question

Aufgabe: in welchen Punkten und unter welchen Winkeln durchdringt die gerade g die angegebenen Koordinatenebenen?

g: x = (4/1/2) + r • (0/1/-1)

E: x-y Ebene

F: x-z Ebene

Die in Klammern geschriebenen zahlen sollen die Vektoren sein

Problem/Ansatz: ich habe bereits die normalenvektoren (0/0/1) und (0/1/0) habe aber leider gar keine Ahnung wies weitergeht. Wahrscheinlich die koordinatenform bilden, aber wie?

Answer 1

Merkmal aller Punkte der x-y-Ebene: Ihre z-Koordinate ist 0.

Wie muss r gewählt werden, damit dies in

(4/1/2) + r • (0/1/-1)

der Fall ist?

Answer 2

Schnittwinkel Gerade Ebene funktioniert nach folgender Formel:

\(\varphi=\arcsin\left( \dfrac{|\vec{n}\cdot \vec{a}|}{|\vec{n}|\cdot |\vec{a}|} \right)\)
wobei \(\vec{n}\) der Normalenvektor der Ebene und \(\vec{a}\) der RV der Geraden ist.

Hierfür brauchst du also gar nicht die Koordinatenform der Ebene.

Für den Schnittpunkt brauchst du ihn auch nicht, da du diesen folgendermaßen berechnen kannst:

\(\vec{r_s}=\vec{r_1}+\dfrac{\vec{n}\cdot (\vec{r_0}-\vec{r_1})}{\vec{n}\cdot\vec{a}}\vec{a}\)

Wobei \(\vec{n}\) der Normalenvektor der Ebene, \(\vec{r_0}\) der OV eines Punkts auf der Ebene ist, \(\vec{r_1}\) der OV der Geraden und \(\vec{a}\) der RV der Geraden ist.

Für einen Punkt der Ebene kannst du schlicht (0|0|0) nehmen, da ja beide Ebenen durch den Ursprung gehen.

Da aber für die xy-Ebene gilt: E:z=0 bzw. für xz-Ebene gilt: F: y=0, kannst du auch schauen, inwiefern du dein r wählen musst, damit dies der Fall ist:

Bsp. E: 2-1r=0 → r=2 .. daraus ergibt sich der Punkt (4|3|0)

Comments

Wie kriege ich den richtungsvektor raus?

---

Der Geraden? Der ist schon gegeben (0|1|-1)

---

@meriye_

$$g:\vec{x}=\underbrace{\begin{pmatrix} 4 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix}}_{\text{Ortsvektor}}+r\cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}}_\text{Richtungsvektor}$$

---

Übrigens:

Die Koordiantenform der xy-Ebene lautet:

0x+0y+z=0

Normalenvektor \(\vec{n}\) ist dann: [0,0,1]

Answer 3

Hallo meriye_,

Bei solchen Aufgabe ist es wesentlich, dass man eine bildliche bzw. geometrische Vorstellung von dem bekommt, um was es da geht.

In diesem Fall kann man sich die Sache sehr einfach machen, da die Gerade parallel zur YZ-Ebene verläuft. Man kann also eine Schnitt durch den Raum (3D) machen und alles zeichnen, was die X-Koordinate \(x=4\) hat. Die Gerade ist dann vollständig enthalten.

Obiges Bild zeigt die Gerade (blau) mit ihrem Stützpunkt \(P_1=(4|1|2)\) und dem Richtungsvektor \(a=(0|1|-1)\) (rot). Die waagerechte graue Gerade ist der Schnitt durch die XY-Ebene bzw. die Y-Achse und die senkrechte graue Gerade ist der Schnitt durch die XZ-Ebene bzw. die Z-Achse. Klick auf das Bild und dann öffnet sich die Szene im Geoknecht3D und Du kannst sie mit der Maus drehen, so dass Du einen räumlichen Eindruck bekommst.

Und so ist die Lösung auch ganz einfach, da man den Punkt \(S_{xy}\), an denen die Gerade die XY-Ebene schneidet (dort ist \(z=0\)), und den Punkt \(S_{zx}\), wo die Gerade die ZX-Ebene schneidet (dort ist y=0), direkt ablesen kann. Es ist $$S_{xy} = \begin{pmatrix} 4\\ 3\\ z=0\end{pmatrix}, \quad S_{zx} = \begin{pmatrix} 4\\ y=0\\ 3\end{pmatrix}$$ und die Winkel (blau) sind auch kein Problem. Da das grüne Dreieck gleichschenklig und rechtwinklig ist, sind beide Winkel zu den Ebenen \(=45°\).

Gruß Werner