Nullstelle berechnen

Question

Aufgabe:

f(x) = x⁴-x-10

Problem/Ansatz:

ich muss die Nullstellen herausfinden , darf aber keine Ableitungen benutzen..

und alle verfahren die mir einfallen würden hier nicht funktionieren .. jemand Ideen?

Comments

Lautet die Aufgabe wirklich so?

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Sie lautet berechnen sie alle positiven Nullstellen ,allerdings weiß ich dass wir Ableitungen nicht benutzen dürfen weil wir sie im Studium noch nicht behandelt haben

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Ist die Funktion f(x) richtig angegeben?

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Aber ihr bekommt solche Aufgaben? Hätte sonst nämlich das Newtonverfahren vorgeschlagen.

Sonst fällt mir noch das Bisektionsverfahren oder das Regula-falsi-Verfahren ein.

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Newton verfahrne hat leider Ableitungen deswegen weiß ich nicht ob das geht und das andere verfahren kenn ich nicht

Und ja alles ist so richtig, ich weiß auch nicht wie es gehen soll

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Vielleicht eine Fixpunktiteration. Für \(x>0\) ist \(x^4-x-10=0\) äquivalent zu \(x=\sqrt[4]{x+10}\). Die Iteration \(x_{n+1}=\sqrt[4]{x_n+10}\) liefert mit \(x_0=2\) und \(x_5=1.8555845\) acht richtige Stellen.

Answer 1

das ist ein Fall für Iterationsverfahren (z. B. das Newton-Verfahren) oder auch die Lösungsformel für Polynome vierten Grades, die Du natürlich stark vereinfachen kannst, da diese für \(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\) gilt.

Du hast eine stark reduzierte Form eines Polynoms vierten Grades: \(ax^4+bx+c=0\).

Wenn Du dazu fragen hast, dann stelle sie bitte unter diesem Post als Kommentar.

Comments

Newton-Raphson entfällt aufgrund der Ableitung.

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Stimmt. Daran habe ich gerade nicht gedacht. Dann Bisektion,  oder Regula-Falsi. Das Polynom ist irreduzibel...

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Habakuktibatong würde den SRN verwenden (Satz über rationale Nullstelle) :D

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@racine ey, du klaust meine Vorschläge ;)

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Die ganzen anderen, die es gibt, sind ja nur noch Vereinfachungen vom Newton-Verfahren... :D

z. B. das Sekantenverfahren, Heron-Verfahren (obwohl ich hier keinen Unterschied sehe)

Answer 2

Ich glaube nicht, dass Ihr schon die exakte PQRSTUVW-Formel hattet, denn da kommen extrem lange Formeln heraus:

x1=(sqrt((2 (9 + sqrt(768081)))^(1/3) - 80 (3/(9 + sqrt(768081)))^(1/3)) - sqrt(80 (3/(9 + sqrt(768081)))^(1/3) - (2 (9 + sqrt(768081)))^(1/3) + 12/sqrt((2 (9 + sqrt(768081)))^(1/3) - 80 (3/(9 + sqrt(768081)))^(1/3))))/(2 6^(1/3))

=-1.69747188084416...

mit sqrt(x)=x^(1/2)=Wurzel(x)

Die anderen 3 unterscheiden sich nur durch Vorzeichen.

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

Was immer schon seit Beginn der Grundrechenarten funktioniert ist die https://de.wikipedia.org/wiki/Bisektion

Der Iterationsrechner unter

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm rechnet das im Beispiel 2 vor:

Lehrer geben jedoch meist Spezialfall-Aufgaben auf, wo sich was herauskürzt oder Substitution oder Raten ein einfaches Ergebnis ergibt.

Falsch abgeschrieben oder ausgedacht?