Determinate einer Matrix in Abhängigkeit vom Parameter

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie die Determinante der Matrix in Abhängigkeit vom Parameter p ∈ ℝ

-1	3	-2	5
0	3	1	3
0	3	p	5
2	-2	3	6

Problem/Ansatz:
ich hänge momentan an dieser Aufgabe fest, ich habe bereits einen Ansatz weiß aber nicht ob dieser richtig ist, falls nicht würde ich über eine Berichtigung sehr erfreut sein.

Schritt 1: Zeile 4) - Zeile 1) * (-2) ( Um bei a4/1 eine 0 zubekommen)

Schritt 2: Zeile 3) - Zeile 2) ( um bei a3/2 eine 0 zubekommen)

-1	3	-2	5
0	3	1	3
0	0	p-1	2
0	4	-1	16

Schritt 3: 3* Zeile 4) - 4* Zeile 2) ( Um bei a4/2 eine 0 zu bekommen)

-1	3	-2	5
0	3	1	3
0	0	p-1	2
0	0	-7	36

Mein Schritt 4 wäre jetzt : 7* Zeile 3) + (p-1)* Zeile 4) (Um bei a4/3 eine 0 zu bekommen)

 ...Darf ich das so machen oder habe ich bereits bis hierher grundlegende mathematische Fehler drin ?

Mit freundlichen Grüßen

Nooby

Answer 1

Hi,

es handelt sich hier um eine 4x4-Matrix, deren Determinante sich schwer händisch, ohne den Laplaceschen Entwicklungssatz, zu berechnen ist. Wende ihn an und reduziere um eine Dimension, dann kannst du i. d. R. mit der Regel von Sarrus weiter machen:$$\begin{vmatrix} -1 & 3 & -2 & 5 \\ 0 & 3 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & p & 5 \\ 2 & -2 & 3 & 6 \end{vmatrix}$$ Wir entwicklen nun nach der 1. Spalte, da dort die meisten Nullen sind:$$\begin{vmatrix} -1 & 3 & -2 & 5 \\ 0 & 3 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & p & 5 \\ 2 & -2 & 3 & 6 \end{vmatrix}=-1\cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 3 & p & 5 \\ -2 & 3 &6\end{vmatrix}-2\cdot \begin{vmatrix}3 & -2 & 5 \\ 3 & 1 & 3 \\ 3 & p & 5\end{vmatrix}$$ Du kannst nun mit der Regel von Sarrus weitermachen.

Kontrollergebnis: \(|D|=22-36p\)

Comments

Ja ich glaube das wäre die bessere Variante, vielen dank für die Hilfe.

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Gern geschehen! Du kannst entscheiden, ob Du noch einmal um eine Dimension reduzieren möchtest oder die Regel von Sarrus anwendest.

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Habe gerade einmal mit der Regel von Sarrus aufgelöst:

\(-1\cdot (24 p - 46)-2\cdot (6p+12)\)

\(\Longleftrightarrow 22-36p\)

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Ich werde die Regel von Sarrus nehmen, die beherrsche ich eigentlich recht gut. :)

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Gute Entscheidung. :)