Aufgabe:
Man formalisiere und beweise durch Fallunterscheidung: Für alle $$z\in\mathbb{Z}$$ ist $$z^2-3z+9$$ eine ungerade Zahl
Problem/Ansatz:
Mein Ansatz ist folgender:
Fall 1: Sei $$z=2n\in\mathbb{Z}$$ eine gerade Zahl. Dann folgt:
$$(2n)^2+3(2n)+9=4n^2+6n+9=2(2n^2+3n)+9$$
Der erste Summand $$2(2n^2+3n)$$ ist eine gerade Zahl, der zwei Summand 9 hingegen eine ungerade Zahl. Die Summe aus einer geraden und einer ungeraden Zahl ist jedoch ungerade.
Fall 2: Sei $$z=2m+1\in\mathbb{Z}$$ eine ungerade Zahl. Dann folgt:
$$(2m+1)^2+3(2m+1)+9=4m^2-2m+7=2(2m^2-m)+7$$
Der erste Summand $$2(2m^2-m)$$ ist eine gerade Zahl, der zwei Summand 7 hingegen eine ungerade Zahl. Die Summe aus einer geraden und einer ungeraden Zahl ist jedoch ungerade.
Insgesamt folgt damit die Behauptung.
Kann man das so schreiben?
