Ist die Abbildung f linear? Beweisen Sie oder geben Sie ein Gegenbeispiel an

Question

ich weiß leider nicht, wie folgende Aufgabe funktioniert. Wie beweist man, ob eine Abbildung linear ist oder nicht?

Geben Sie in jeder der folgenden Teilaufgaben an, ob die Abbildung f linear ist. Wenn ja, beweisen
Sie ihre Aussage. Wenn nein, geben Sie ein Gegenbeispiel an.

1. Sei V = ℝ und f : V → V gegeben durch f(x) =_df 2x + 3.

2. Sei V = ℝ³ und f : V → V gegeben durch f(\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) ) =_df \( \begin{pmatrix} 2x\\2x + 3y\\y + z \end{pmatrix} \).

3. Sei V = ℝ³ und f : V → V gegeben durch f(\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) ) =_df \( \begin{pmatrix} 3x\\2x + 3y\\y · z \end{pmatrix} \).

4. Sei V ein beliebiger ℝ-Vektorraum und W = ℝ. Sei L eine lineare Abbildung von V nach W.

Definiere f : V → ℝ² durch f(\( \vec{v} \)) =_df \( \begin{pmatrix} 2L (v)\\L (v) - L(3 · v) \end{pmatrix} \). Hier meine ich mit "(v)" eigentlich "(\( \vec{v} \) )", nur kann ich hier keinen Vektorbuchstaben in einen Vektor einfügen.

Ich bedanke mich für Lösungen / Lösungsansätze.

MfG

Answer 1

1 ist nicht linear; denn

f(2) = 7

f(3)= 9

Aber f(2+3) = f(5) = 13 ≠ 7 + 9

Comments

Danke für die Antwort, könntest du mir denn bitte kurz erläutern was es heißt, wenn eine Abbildung linear ist oder nicht? Und wie würde es bei den anderen Aufgaben aussehen?

Trotz deiner Lösung für die Erste weiß ich immer noch nicht, was ich bei den anderen tun muss..

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Schau mal dort:

https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung#Definition

Bei deiner 1. Abbildung hat mein Beispiel gezeigt:

Sie ist nicht additiv.

Das zweite ist eine lineare Abbildung.

Du musst also zeigen

 f(\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)+\( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \) ) = f(\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \))+f(\( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \) ).

Dazu rechnest du beides am besten getrennt aus und zeigst, dass die Ergebnisse übereinstimmen:

 f(\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)+\( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \) )

=  f(\( \begin{pmatrix} x+a\\y+b\\z+c \end{pmatrix} \) = ..

und jetzt in der Def. von f jeweils die Komponente einsetzen.

Und das dann vergleichen mit  f(\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \))+f(\( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \) ).

Und dann noch "homogen" zeigen.

Die dritte ist nicht linear. Berechne mal ein paar Werte, dann findest du bestimmt ein Gegenbeispiel.

Bei 4 ist es wieder eine. Zeige also "additiv" und "homogen"

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Okay vielen Dank für die Hilfe, also bei 2. wäre

f(\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)) = \( \begin{pmatrix} 2x\\2x + 3y\\y + z \end{pmatrix} \) und f(\( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \) ) = \( \begin{pmatrix} 2a\\2a + 3b\\b + c \end{pmatrix} \).

Dann ist f(\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)) + f(\( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \) ) = \( \begin{pmatrix} 2x\\2x + 3y\\y + z \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} 2a\\2a + 3b\\b + c \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 2x + 2a\\2x + 3y + 2a + 3b\\y + z + b + c \end{pmatrix} \).

und f(\( \begin{pmatrix} x + a\\y + b\\z + c \end{pmatrix} \) ) ist dann doch auch \( \begin{pmatrix} 2x + 2a\\2x + 3y + 2a + 3b\\y + z + b + c \end{pmatrix} \).

Wäre hiermit schon gezeigt, dass diese additiv sind?

Und wenn ich "homogen" zeigen will, würde ich so vorgehen:

f(k · \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)) = f(\( \begin{pmatrix} kx\\ky\\kz \end{pmatrix} \)) = \( \begin{pmatrix} k · 2x\\k · (2x + 3y)\\k · (y + z) \end{pmatrix} \)

und

k · f(\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) ) = k · \( \begin{pmatrix} 2x\\2x + 3y\\y + z \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} k · 2x\\k · (2x + 3y)\\k · (y + z) \end{pmatrix} \).

Und das wäre wieder das Gleiche..

Ich bin mir nicht sicher ob meine Vorgehensweise so richtig war oder ob ich Fehler eingebaut habe, kannst du mir sagen ob ich damit schon bewiesen habe, dass 2. linear ist bzw. ob meine Lösung für 2 richtig ist?

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Na ist doch alles prima.

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Ich glaube 3) ist wie 1) also

x,y,z=1  => \( \begin{pmatrix} 3 \\ 5  \\ 1  \end{pmatrix} \)

x,y,z=2  => \( \begin{pmatrix} 6 \\ 10  \\ 4  \end{pmatrix} \)

x,y,z=3  => \( \begin{pmatrix} 9 \\ 15  \\ 9  \end{pmatrix} \)

f(1 + 2 ) ≠ f(3)

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Bei 3 musst du das aber etwas klarer benennen:

Für welche Werte von xyzabc gilt

 f(\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)+\( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \) ) ungleich f(\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \))+f(\( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \) ).

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Vielen Dank für die Antworten, aber reicht es bei 3 nicht aus ein Gegenbeispiel zu finden, wie zB das von xH0p? Also mir fällt auf, dass immer nur die unterste Zeile nicht passt

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Das ist auch so, aber du musst es ja auf die ganze Abbildung beziehen.

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Achso ja verstehe, vielen Dank für die Hilfe!