Beweis von Konvergenz bei Folgen

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text { a) Es sei }\left(a_{n}\right)_{n \in N} \text { eine Folge deren Reihe} \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \text { konvergiert. Zeigen Sie, dass dann auch } a_{n} \text { konvergiert }} \\ {\text { und das zusätzlich gilt lim }_{n \rightarrow \infty} a_{n}=0 .}\end{array} $$

$$ \text { b) Zeigen Sie, dass die Umkehrung nicht gilt (}\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0 \Longrightarrow \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}\text { konvergiert). } $$

$$ \text { c) Zeigen Sie, dass eine beschränkte Folge unendlich viele konvergente Teilfolgen besitzt. } $$


Problem/Ansatz:

Keine Ahnung - bin ich ganz ehrlich!

Mir ist nicht klar wie ich das konkret zeige.

Answer 1

Hallo

a) mit Widerspruch, angenommen es gibt ein ε>0 so dass  für alle n>N an>ε dann könnte man von N bis unendlich die an durch  ε abschätzen und die Reihe würde divergieren.

b) Beispiel harmonische Reihe.

c) ab N sind ja alle an< ε du kannst also jedes 2 te  3. te usw , also irgendwelche beliebige Folgen nehmen und da es oo viele an gibt auch beliebige viele Teilfolgen.

Gruß lul