Höhe eines Berges aus Tiefenwinkeln

Question

Von der Spitze eines Berges sieht man den Kirchturm in der Gemeinde A unter einem Tiefenwinkel 30 Grad und nach einem Schwenk des Fernrohrs um 120 Grad den Kirchturm der Gemeinde B unter einem Tiefenwinkel von 15 Grad.

Die beiden Türme stehen auf der selben Horizontalebene und sind 3,4 km voneinander entfernt.

Wie hoch ist der Berg?

Problem/Ansatz

Hab es mit dem Kosinussatz versucht, komm aber nicht auf das Ergebnis 703m

Bitte um detailierte Erklärung

Answer 1

Ich denke das Szenario soll so sein, wie hier abgebildet:

(klick auf das Bild)

Der Winkel \(\angle AOB\) sollen die \(120°\) sein. Ich nenne \(|AO|=a\), \(|OB|=b\) und \(|OB_{erg}|=h\). Aus den aufrecht stehenden Dreiecken folgt$$\frac ha = \tan( 30° ) = \frac 13 \sqrt 3 \\ \frac hb = \tan( 15°) = 2 - \sqrt 3\\ \begin{aligned} \implies b &= \frac {h}{ \tan(15°)} = \frac{a \cdot \tan (30°)}{\tan(15°)} \\ &= a \frac{\sqrt 3}{6-3\sqrt 3} \\ &= a \frac{1}{2\sqrt 3 - 3} \end{aligned} $$Einsetzen in den Kosinussatz für das Dreieck \(\triangle OAB\) gibt:$$\begin{aligned} |AB|^2 &= a^2 + b^2 - 2ab \cos( 120°) \\ &= a^2 + b^2 + ab \\ &\approx 7,797 a^2\end{aligned}$$Daraus folgt dann \(a \approx 1,218\) und \(h\approx 0,703\). Die Maße in \(\text{[km]}\).

Comments

Danke für die Erklärung aber das ist mir zu hoch.

Was ist jetzt genau a und was b

Ist das als Gleichung zu sehen?

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Lies alles genau. Da steht |OA| = a usw.

Ausserdem kannst du auf das Bild klicken und die Figur bewegen.

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Wo a und b sind weiss laut der Zeichnung was ich nicht weiss ist was ich für a und b genau in den Cossinussatz eintragen muss

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Wo a und b sind weiss ich laut der Zeichnung; was ich nicht weiss ist was ich für a und b genau in den Cossinussatz eintragen muss

\(a\) ist \(a\), weil die erste Unbekannte, die berechnet wird und \(b=a \frac{1}{2\sqrt 3 - 3} \). Und wenn Du das \(b\) in den Kosinussatz $$|AB|^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos( 120°) $$ einsetzt, bekommst Du eine Gleichung mit einer Unbekannten (dem \(a\)) und kannst diese lösen. \(|AB|=3,4\text{km}\) war gegeben.

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Mache das mit dem tinspire cx cas mit dem Menüpunkt Gleichungssystem lösen schreibt immer false.

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Mache das mit dem tinspire cx cas mit dem Menüpunkt Gleichungssystem lösen schreibt immer false.

ja und!? ... Was bedeutet 'false' in diesem Fall?

Es gibt da eine ganz alte Regel; die da lautet: ein Taschenrechner kann immer nur soviel leisten, wie der Mensch, der davor sitzt.

Wenn Du den TR mal beiseite legst, wo genau hast Du jetzt noch ein Problem mit der Aufgabe?

Answer 2

Die Höhe des Berges sei h.  x und y sind die Abstände der Bergspitze von den Kirchtürmen:

Dann gilt:

3,4²=x²+y²-2·x·y·cos(120°)

sin(30°)=h/x

sin(15°)=h/y

Drei Gleichungen mit den Unbekannten x, yund h.

Comments

Hallo danke für die rasche Antwort aber das passt nicht mit dem Ergebnis 703 m zusammen.

Bekomme für h= 658m heraus

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Dein Ergebnis ist richtig. Das Ergebnis 703 m enthält vermutlich verschiedene Rundungslehler. Bei mir ist x=2h und y=4h/(√6-√2). Dies setzt man in 298/25=x²+y²+xy ein. Dann erhält man ein exaktes Ergebnis für h, welches nach Rundung 658,5 m ergibt.  

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Eine alternative Erklärung für die abweichenden Ergebnisse ist, dass h die Drehachse des Fernrohrs ist.

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@oswald. Welche Drehachse (außer h) hältst du denn für möglich?

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Laut deiner Zeichnung ist der 120°-Winkel der Winkel zwischen A, Bergspitze und B. Die Drehachse verläuft also senkrecht zu der Ebene, die aus diesen drei Punkten besteht.

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Ich verstehe! Ist die Aufgabe dann verständlich formuliert?

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Ich denke schon. Fernrohre haben meist eine vertikale Drehachse.

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Die Angabe habe ich genau abgeschrieben das Ergebnis im Buch ist 703m das sind mehr als 40m unterschied das kann nicht mit dem runden zusammen hängen

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Halte dich an die Zeichnung von Werner-Salomon. Dort kommen üblichere Fernrohre vor. https://de.wikipedia.org/wiki/Fernrohr hat eine vertikale Achse.