f(x)= 5-4x-x^2 zu (x+2)^2 vereinfachen

Question

f(x) = (5-4x-x²) wie kann ich hier das richtige Binom (x+2)² erkennen - 

kann jemand den Rechenweg genau darstellen?

Answer 1

f(x) = (5-4x-x²) wie kann ich hier das richtige Binom (x+2)² erkennen

.. mit Hilfe der quadratischen Ergänzung: Es ist \((x+a)^2 = x^2+2ax + a^2\) - also ist bei$$f(x) = 5-4x-x^2=-(x^2\colorbox{#ffff00}{+4x}-5)$$das Glied \(+4x = 2ax\) bzw. \(a=2\). Jetzt addiere \(a^2=4\) und ziehe es auch gleich wieder ab:$$f(x) = -(x^2+4x-5) = -(\underbrace{x^2+4x + 4}_{1.\text{binomische}} - 4-5)$$Nun noch die erste Binomische anwenden:$$\begin{aligned}f(x) &= -((x^2+4x + 4) - 9) \\&= -((x+2)^2 - 9) \\&= -(x+2)^2 + 9 \end{aligned}$$so kann man bereits ablesen, dass der Scheitelpunkt bei \(x_S=-2\) und \(y_S=9\) liegt. Der Plot bestätigt dies:

~plot~ 5-4x-x^2;{-2|9};[[-8|4|-2|12]] ~plot~

Comments

wie kommst Du auf + 4x obwohl in die Gleichung -x² - 4x + 5 lautet

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ich habe es selbst erkannt - durch ausklammern von -1 () werden die Vorzeichen im Ausdruck gedreht!

Answer 2

(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4 ≠ 5 - 4x - x^2

Also (x + 2)^2 ist sicher nicht das richtige Binom.

Mit dem Satz von Vieta kommt man auf folgende Zerlegung:

5 - 4x - x^2 = -(x^2 + 4x - 5) = -(x + 5)(x - 1)

Answer 3

(5-4x-x²) hat den Faktor (-1) vor x², also erst mal (-1) ausklammern:

(5-4x-x²)=(-1)(x²+4x-5).

Wenn du aus x²+4x-5 für die quadratische Ergänzung ein Binom herausholen willst, müsste 4x das doppelte Produkt sein, was beim Bilden von (x+...)² entsteht.

Wenn 4x das doppelte Produkt ist, dann ist 2x das einfache Produkt, also sind die beiden Summanden in der Klammer x und 2.

Wenn man nun aber (x+2)² rechnet, entsteht nicht nur x²+4x, sondern noch der zusätzliche Summand +4.

Du schreibst deshalb dieses benötigten Summanden 4 dazu und subtrahierst ihn gleich wieder:

(5-4x-x²)=(-1)(x²+4x-5)=(-1)(x²+4x+4-4-5).

Die vordere 4 verwendest du zur Herstellung des Binoms:

(-1)(x²+4x+4-4-5)=(-1)((x+2)² - 4-5).

Das -4-5 am Ende wird zu -9:

(-1)(x²+4x+4-4-5)=(-1)((x+2)² - 4-5)=(-1)((x+2)² -9).

Es gilt also

(5-4x-x²)=(-1)((x+2)² -9)=-(x+2)² +9).