Stetigkeit einer Funktion

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Funktion:

f(x)   = 1/q     (falls x=p/q ∈ Q mit p ∈ Z, q ∈ N teilerfremd)

        = 0        (falls x ∈ R / Q)

auf R / Q stetig und auf Q nirgends stetig ist.

Answer 1

Hallo
1. du kannst reelle Zahlen durch eine Folge von rationalen Zahlen mit immer größeren Nennern approximieren.
2. in jeder Umgebung einer rationalen Zahl gibt es beliebig viele reelle, nicht rationale Zahlen
die 2 Tatsachen benutze!
Gruß lul

Comments

Hast du die Fragestellung überhaupt verstanden?

Answer 2

In der Grundmenge der irrationalen Zahlen ist f(x) konstant 0.

Sprich: Innerhalb dieser Grundmenge stimmt an jeder Stelle der Funktionswert mit dem Grenzwert bei Annäherung an diese Stelle überein. Damit sollte die Konvergenz geklärt sein.

In den rationalen Zahlen hat jeder gekürzte Bruch p/q den Funktionswert 1/q.

Dieser Funktionswert kommt auch so schnell nicht wieder. Den hat es (eventuell) an der Stelle (p-1)/q gegeben und es wird ihn eventuell wieder an der Stelle (p+1)/q geben. Eventuell deshalb, weil die genannten Brüche auch kürzbar sein könnten und dann einen  anderen Nenner haben.

In Intervall zwischen (p-1)/q und (p+1)/q gibt es außer p/q deshalb keinen weiteren Bruch mit dem Funktionswert 1/q. Alle rationalen Zahlen in diesen Intervall haben Funktionswerte, die kleiner gleich 1/(q+1) oder größer gleich 1/(q-1) sind.

Damit kann auch keine Folge in diesem Intervall bei Annäherung an die Stelle p/q gegen den Funktionswert 1/q konvergieren.

Damit dürfte die Divergenz geklärt sein.