Höhe einer Pyramide mit Vektorrechung bestimmen

Question

Kann mir hier jemand helfen, wie man die Höhe der Pyramide berechnet?

Aufgabe:

Gegeben sind die Koordinaten einer geraden Pyramide im Raum:

Grundfläche: A(1/0/1)  B(7/0/1)  C(7/0/-6)  D(1/0/-6)

Spitze: E(4/-2/6)

Berechnen Sie mit der Vektorrechnung das Volumen dieser Pyramide!

Vorgehen:

Ebenengleichung:

$$\left( \begin{array} { l } 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + x \left( \begin{array} { c } { - 6 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) + y \left( \begin{array} { l } { 6 } \\ 0 \\ { - 7 } \end{array} \right)$$

Weiter komme ich aber nicht, kann mir hier jemand helfen?

Comments

Bist du sicher, dass deine Punkte, insbesondere C,D, korrekt sind?

https://www.geogebra.org/3d/j3m8knux

Answer 1

Berechne die Grundfläche (Parallelogramm) mit Hilfe des Vektorprodukts von AB und AC.

Ermittle den Abstand von E zur Grundfläche.

Wende die Volumenformel der Pyramide an.

Solltet ihr im Unterricht das Spatprodukt kennengelernt haben:

Berechne ein Drittel des Spatprodukts der Vektoren AB, AD und AE.

Nachtrag: A, B, C und D haben jeweils die y-Koordinate 0 und sind somit Punkte der xz-Ebene.

Die Höhe dieser Pyramide ist damit  2, denn der Punkt E mit der y-Koordinate -2 hat von der xz-Ebene den Abstand 2.

Allerdings ist die Pyramide NICHT gerade, denn dann müsste hier E die gleichen x- und z-Koordinaten haben wie der Mittelpunkt des Vierecks ABCD.

Answer 2

Wenn E statt E(4 | -2 | 6) einfach E(4 | -2 | -2.5) wäre, dann würde es eine gerade Pyramide sein. Hat sich der Lehrer eventuell vertippt.

Allerdings ändert es nichts am Volumen der Pyramide.

V = 1/3 * 6 * 7 * 2 = 28 VE