Verständnis lineare Abbildungen

Question

Es seien V und W endlich dimensionale K-Vektorräume, S={s1,,sn},S′={s′1,,s′n} Basen von V sowie T={t1,,tm},T′={t′1,t′m} Basen von W.

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

(1) Eine lineare Abbildung f:V→W ist genau dann injektiv, wenn der Kern von f nur aus dem Nullvektor besteht.

(2) Eine lineare Abbildung ϕ:V→W ist genau dann surjektiv, wenn {ϕ(s1),,ϕ(sn)}eine Basis von W ist.

(3) Basiswechselmatrizen sind spezielle Darstellungsmatrizen: CS′,S=DS′,S(idV).

(4) Für jede lineare Abbildung g:V→W und jeden Vektor v∈V gilt: DT,S(g)⋅γS(v)=γT(g(v)).

Answer 1

Hallo mbmathe, ich kann dir leider nur bei Teilaufgabe 1 helfen.  Aber besser als nichts.  (1)  Ist die Aussage zutreffend:  Eine lineare Abbildung f: V→W ist genau dann injektiv, wenn der Kern von f nur aus dem Nullvektor besteht.

Die Aussage ist zutreffend.  Beweis: 

Teil 1:  Abbildung f injektiv => Kern f = {0}

Abbildung f injektiv  =>  (f(x) = f(y) => x = y)  =>  setze y = 0:  (f(x) = f(0) => x = 0)  =>  Mit f(0) = 0 (Beweis s. u.) folgt (f(x) = 0 => x = 0)  =>  Kern f = {0}

f ist linear, daher f(a x) = a f(x).  Mit a = 0:  f(0) = 0. 

Teil 2:  Kern f = {0} => Abbildung f injektiv

Sorry, das kann ich leider nur mit Matrizen beweisen. 

f(x) = A x mit A Element R(nxn).

Kern f = {0}  =>  (A x = 0 => x = 0)  =>  A ist regulär  =>  Ax = y und x = A^(-1) y  =>  f ist bijektiv  =>  f ist injektiv

f(x) = A x mit A Element R(mxn), m>n.

Kern f = {0}  =>  (A x = 0 => x = 0)  =>  A hat vollen Spaltenrang  =>  Ax = y hat 0 Lösungen, oder eine Lösung  =>  f ist injektiv 

f(x) = A x mit A Element R(mxn), m<n.

Kern f = {0}  =>  (A x = 0 => x = 0) ist nicht möglich 

Ist da jemand in der Community, der den Satz für allgemeines f beweisen kann?

Comments

Hallo mbmathe, ich habe nochmal drüber nachgedacht und einen Beweis gefunden.  Teilaufgabe 1:  Kern f = {0}   =>   f injektiv:
Zu zeigen ist:  f(x) = f(y)   =>   x = y
f(x) = f(y)
=>   f(x) – f(y) = 0
mit „Linearität“   =>   f(x – y) = 0
mit „Kern f = {0}“   =>   x – y = 0
=>   x = y

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Super, vielen Dank. Falls jemand noch bei weiteren 3 Teilaufgaben helfen könnte, wäre toll!