Eigenwerte einer 4x4 Mtrix bestimmen

Question

Aufgabe:

ich lerne gerade fü eine Abschlussklausur und soll die Eigenwerte der folgenden 4x4 Matrix bestimmen

4 -4 -1 7

2 -2 3 -4

0 0 11 -24

0 0 4 -9

Problem/Ansatz:

ich habe die Matrix auf mehere 3x3 Matrix gekürzt und mit hIlfe der Regel von Sarus einen ziemlich langen Term ausgerechent und gekürzt sieht er bei mir folgendermaßen aus:

-t^4 + 103t^2 + 102t + 576

aber dieser Term ist anscheinend faslch, weil ich nicht auf die Eigenwerte komme, die in der Lösung steht

laut Lösung muss folgendes rauskommen:

((t-4)(t+2)+8)((t-11)(t+9)+96) = (t^2-2t)(t^2-2t-3) = t(t-2)(t-3)(t+1)

demnach wären die Eiigenwerte 0,2,3, -1

ich komme einfach nicht auf das selbe ergebnis egal wierum ich rechne, es kommt immer was anderes raus und jedesmal hab auch ich unterschiedliche Ergebnisse. Wenn mir also jemand mal zeigen könnte, wie man die auf die Eigenwerte kommt, würde ich mich sehr freuen.

Mfg

Comments

Die angegebenen Eigenwerte und die Vorgehensweise sind richtig. Also wirst du dich wohl verrechnet haben.

---

Tipp: Beschränke dich auf das Produkt der Determinanten zweier 2×2-Matrizen.

Answer 1

Die Lösung beruht darauf, dass der linke untere 4er Block aus

lauter 0en besteht.

Also ist die Determinate der 4x4 Matrix das

Produkt der Determinaten der beiden beiden

4er Blöcke

    oben links     mal    unten rechts, also

((t-4)(t+2)+8)      mal      ((t-11)(t+9)+96)

Answer 2

M = [4 - x, -4, -1, 7; 2, -2 - x, 3, -4; 0, 0, 11 - x, -24; 0, 0, 4, -9 - x]

Ich entwickel mal nach der ersten Spalte:

DET(M) = (4 - x)·((-2 - x)·(11 - x)·(-9 - x) - (4)·(-24)·(-2 - x)) - 2·((-4)·(11 - x)·(-9 - x) - (4)·(-24)·(-4)) = x·(x + 1)·(x - 2)·(x - 3)

Answer 3

            ⎡ 4 - t       -4        -1           7  ⎤
 DET    ⎢    2      -2 - t       3          -4  ⎥
            ⎢   0          0     11 - t       -24  ⎥
            ⎣   0          0        4        -9 - t  ⎦

Entwicklung nach Laplace nach der 3. Zeile:

                          ⎡ 4 - t     -4          7  ⎤                         ⎡ 4 - t      -4    -1 ⎤
=  (11 - t) · DET ⎢   2     -2 - t       -4  ⎥   +   24 · DET  ⎢   2     -2 - t     3 ⎥
                          ⎣   0        0      -9 - t ⎦                         ⎣   0         0      4 ⎦

Und noch einmal Entwicklung nach Laplace nach den 3. Zeilen:

                                      ⎡ 4 - t      -4  ⎤                           ⎡ 4 - t     -4  ⎤
=   (11 - t)·(-9 - t) · DET ⎢                   ⎥    +  24·4 · DET ⎢                 ⎥
                                      ⎣    2    -2 - t ⎦                           ⎣  2     -2 - t ⎦

=  ( (11 - t)·(-9 - t) + 4·24) · (t^2 - 2·t)

=  t·(t + 1)·(t - 2)·(t - 3) = 0

Gruß Wolfgang

Answer 4

Du brauchst dazu lediglich 2 Zeilenoperationen

E(a,b,c) = c*Zeile b + Zeile a

E(2,1,-2/(4-l)) E(4,3,-4/(11-l))  (A - l E)

\(\left(\begin{array}{rrrr}-\ell + 4&-4&-1&7\\0&-\ell \; \frac{\ell - 2}{\ell - 4}&\frac{3 \; \ell - 14}{\ell - 4}&-2 \cdot \frac{2 \; \ell - 15}{\ell - 4}\\0&0&-\ell + 11&-24\\0&0&0&-\left(\ell - 3 \right) \; \frac{\ell + 1}{\ell - 11}\\\end{array}\right)\)

Produkt der Diagonalelemente

Oder Du bildest 2x2 Blockmatrizen...

BTW: Komplettverfahren https://ggbm.at/upUZg79r