Gerade Ebene: Abstand von P zu G? Schnittpunkt und Schnittwinkel von G und E?

Question

Könnte mir jemand bitte bei den Aufgaben weiterhelfen ? Ich komme nicht zurecht. Danke vorab für eure Hilfe !

Gegeben sei die Gerade \( G=\left\{\vec{x} \in \mathbb{R}^{3} : \vec{x}=\left( \begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right)+t \left( \begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right), t \in \mathbb{R}\right\} \), der Punkt \( P=\left( \begin{array}{l}{2} \\ {1} \\ {3}\end{array}\right) \) sowie die Ebene \( E=\left\{\vec{x} \in \mathbb{R}^{3} : x_{3}=1\right\} \)

i) Berechnen Sie den Abstand von P zu G und geben Sie den Punkt \( P_1 \) auf G, der den kürzesten Abstand zu P hat, an.

ii) Bestimmen Sie den Punkt \( P_2 \) in E, welcher zu P den kürzesten Abstand hat, und geben Sie den Abstand von P zu E an.

iii) Bestimmen Sie den Schnittpunkt von G und E. Geben Sie den Schnittwinkel \( \alpha \in[0,2 \pi) \) zwischen G und E an.

Answer 1

i)
d = |([2, 1, 3] - [1, 1, 0]) ⨯ [0, 1, 1]| / |[0, 1, 1]| = √22/2 = 2.345

ii)
P2 = [2, 1, 1]
d = 2

iii)
S = [1, 1, 0] + 1·[0, 1, 1] = [1, 2, 1]
α = ARCSIN( [0, 1, 1]·[0, 0, 1] / |[0, 1, 1]| ) = pi/4