Hallo abc18,
im Groben sieht das gut aus. Du formst deine Behauptung solange um, bis du deine Induktionsvoraussetzung widergewinnst, um damit den Induktionsschritt zu beweisen. Um daraus jetzt einen formalen Beweis zu machen, ist es hilfreich, die einzelnen Abschnitte im Beweis zu kennzeichnen. Und du musst bei deiner Behauptung sagen, für welche Zahlen du den Beweis durchführst. Du kannst das zB so sagen: $$ \forall n \in \mathbb{N}_{\geq 1}: \sum_{k=1}^n k=\frac{n\cdot (n+1)}{2} $$
∀: ,,Für alle''
∈: ,,element''
Dann dein Beweis (durch vollständige Induktion):
Induktionsanfang: Sei n0=1. Dann ist $$ \sum_{k=1}^1 k=1=\frac{2}{2}=\frac{1\cdot (1+1)}{2}, $$ womit die Aussage für n=1 wahr ist.
Induktionsvoraussetzung: Angenommen die Aussage sei für ein beliebiges, aber festes, n∈ℕ\{0} wahr, sodass gilt:
$$ \sum_{k=1}^n k=\frac{n\cdot (n+1)}{2} \quad (IV)$$.
Induktionsschritt: Dann gilt diese Aussage auch für n+1 ,also
$$ \sum_{k=1}^{n+1} k=\frac{(n+1)\cdot (n+2)}{2}=\frac{n^2+3n+2}{2} $$.
Dies zeigt man so:
$$ \sum_{k=1}^{n+1} k=\Bigg( \sum_{k=1}^{n} k\Bigg)+(n+1)\stackrel{(IV)}{=} \frac{n\cdot (n+1)}{2}+(n+1) =\frac{n\cdot (n+1)+2\cdot (n+1)}{2}\\=\frac{(n+1)\cdot (n+2)}{2}=\frac{n^2+3n+2}{2}.$$Damit wurde obige Aussage für alle n∈ℕ\{0} bewiesen. q.e.d.
oder ein Viereck zur Kennzeichnung, dass ein Beweis beendet wurde.
