Begründung: Die Hausnummer i kommt mit der Wahrscheinlichkeit P(i)= p*q^(i-1) vor

Question

Aufgabe:

Nina vermutet, ihn Wohngebieten sei die Straßenlänge, damit ist hier die höchste in der Straße vorkommende Hausnummer, zufallsbedingt.Sie simuliert das "historische" Wachsen von Straßen als "Warten auf das Straßenende" mit einem Würfel wie folgt: Anfangs ist die Straßenlänge 1 (nur eine Hausnummer). Immer wenn eine Augenzahl unter 6 fällt, wächst die Straße um eine Hausnummer. Bei 6 ist sie zu Ende - und eine neue Straße fängt an (wieder mit Hausnummer 1). In jedem Schritt ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Straße endet p= 1/6, dass sie weiterwächst q=5/6.

Beispiel: Die 7 Augenzahlen 2,4,2,5,1,2,6 liefern eine Straße der Länge 8 (Hausnummern 1 bis 8)

Nun zu den Aufgaben:

d) Begründen Sie: Die Hausnummer i kommt mit der Wahrscheinlichkeit P(i) = p*q^(i-1) vor.

Anleitung:

Nehmen sie dazu an, sie hätten n Straßen erzeugt.

- Begründen sie: Die Hausnummer i kommt dann ca. n*q^(i-1) mal vor.

- Begründen Sie: es gibt insgesamt n / (1-q) Hausnummern

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich das Begründen soll. Für p setze ich 1/6 ein, für q 5/6, für n 10 und für i eine beliebige Hausnummer von 1 bis 13, da ich keine längeren Straßen erwürfelt habe. Wenn ich aber diese Werte in die Gleichung P(i) = p*q^(i-1) einsetzte, also P(1) = 1/6*5/6^(1-1) kommt ein 1/6 raus, obwohl p gleich 1 sein müsste, da jede Straße mit der Hausnummer 1 beginnt.

Answer 1

Wenn ich aber diese Werte in die Gleichung p(i) = p*q^(i-1) einsetzte, also p(1) = 1/6*5/6^(1-1) kommt ein 1/6 raus, obwohl p gleich 1 sein müsste, da jede Straße mit der Hausnummer 1 beginnt.

Damit hast du die Behauptung "Die Hausnummer i kommt mit der Wahrscheinlichkeit p(i) = p*q^(i-1) vor." widerlegt.

Versuch mal, die Behauptung "Eine Straße hat mit der Wahrscheinlichkeit p(i) = p*q^(i-1) genau die Länge i" zu zeigen.

Comments

Damit hast du die Behauptung "Die Hausnummer i kommt mit der Wahrscheinlichkeit p(i) = p*q^(i-1) vor." widerlegt.

Es gilt laut Aufgabenstellung P(1) = 1/6 und genau das liefert auch die Formel. Was soll da widerlegt sein?

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Was soll da widerlegt sein?

Die Wahrscheinlichkeit ist zu klein für das Ereignis: "Die Hausnummer 1 kommt vor."

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Nina vermutet, in Wohngebieten sei die Straßenlänge [X=i], damit ist hier die höchste in der Straße vorkommende Hausnummer [gemeint], zufallsbedingt. (...) Anfangs ist die Straßenlänge 1.

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Es gilt laut Aufgabenstellung P(1) = 1/6

Nein, aus der Aufgabenstellung kann diese Information nicht entnommen werden. Wenn du anderer Meinung bist, dann begründe das bitte indem du angibst, welche Variable in welcher Gleichung durch welche Zahl ersetzt wurde.

Was soll da widerlegt sein?

Die Behauptung "Die Hausnummer i kommt mit der Wahrscheinlichkeit p(i) = p*q^(i-1) vor." soll widerlegt sein.

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d) Begründen Sie: Die Hausnummer i kommt mit der Wahrscheinlichkeit P(i) = p*q^(i-1) vor.

Damit ist nach meiner Auffassung und dem Vortext der Aufgabe folgend doch wohl die Lesart "Die Hausnummer i kommt mit der Wahrscheinlichkeit P(i) = p*q^(i-1) als die höchste in einer Straße vorkommende Hausnummer, also als Länge einer Straße, vor".

Mache ich da einen grundsätzlichen Denkfehler?

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"Die Hausnummer i kommt mit der Wahrscheinlichkeit P(i) = p*q^(i-1) als die höchste in einer Straße vorkommende Hausnummer, also als Länge einer Straße, vor"

Dann wäre die Formel korrekt; wie ich auch schon in meiner Antwort angedeutet habe.  Die Teilaufgabe d) lässt diese Intepretation jedoch nicht zu.

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Mit P(i) ist die Wahrscheinlichkeit gemeint, dass man beim Besuchen eines zufällig ausgewählten Hauses des Wohngebietes gerade in Hausnummer i landet. Das wird doch spätestens aus der Anleitung völlig klar.

Allerdings ist das Beispiel fehlerhaft.

In der Anleitung sollte außerdem stehen, dass mit n eine sehr große Zahl gemeint ist und das "ca." sollte nicht nur beim ersten sondern auch beim zweiten Begründungsauftrag stehen.

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In der Aufgabe geht es doch um Straßen (Längen) und nicht um Häuser (Hausnummern) als Grundgesamtheit. Oder ist etwas zwischen dem Aufgabenvortext und der Telaufgabe d) passiert, was ich übersehen habe?

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Mit P(i) ist die Wahrscheinlichkeit gemeint, dass man beim Besuchen eines zufällig ausgewählten Hauses des Wohngebietes gerade in Hausnummer i landet.

Ein interessanter Gedanke. Diese Möglichkeit habe ich zu schnell verworfen.

Das wird doch spätestens aus der Anleitung völlig klar.

Die Anleitung enthält keine für die Lösung der Aufgabenstellung notwendigen Informationen. Sonst wäre sie keine Anleitung, sondern eine Arbeitsanweisung.