Wie berechne ich den Höhenfußpunkt F_{c} im Dreieck?

Question

Aufgabe: Berechne die Koordinaten des Fußpunktes Fc in dem Dreieck, welches durch die Punkte A(1/1/2), B(5/2/3) und C(3/4/4) im R^3 beschrieben wird. Tipp: Drücke den Vektor AFc als Anteil von AB aus, also AFc =r*AB

Fc=_____________________________

Problem: Könnt ihr mir bitte helfen oder einen Ansatz geben? 

Answer 1

Über Formel

F = A + (AC·AB) / (AB·AB)·AB

= [1, 1, 2] + [2, 3, 2]·[4, 1, 1] / ([4, 1, 1]·[4, 1, 1])·[4, 1, 1] = [35/9, 31/18, 49/18]

Über Orthogonalitätsbedingung

AB = B - A = [5, 2, 3] - [1, 1, 2] = [4, 1, 1]

F = A + r·AB = [1, 1, 2] + r·[4, 1, 1] = [4·r + 1, r + 1, r + 2]

CF = F - C = [4·r + 1, r + 1, r + 2] - [3, 4, 4] = [4·r - 2, r - 3, r - 2]

AB·CF = [4, 1, 1]·[4·r - 2, r - 3, r - 2] = 18·r - 13 = 0 → r = 13/18

F = A + r·AB = [1, 1, 2] + 13/18·[4, 1, 1] = [35/9, 31/18, 49/18]

Comments

Der Gegebene Tipp spielt auf die Benutzung der Formel an

AF = r·AB

mit

r = ([2, 3, 2]·[4, 1, 1]) / ([4, 1, 1]·[4, 1, 1])

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Danke für die ausführliche Erklärung;)

Answer 2

Dir Gerade g durch A und B ist \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 5\\2\\3 \end{pmatrix} \) +λ·\( \begin{pmatrix} 4\\1\\1 \end{pmatrix} \)

Die Ebene E auf der AB senkrecht steht und durch C verläuft ist

\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} -1\\2\\2 \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 3\\3\\4 \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} -1\\2\\2 \end{pmatrix} \)

E∩g=F_c