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Erklärung und Beweis der Ungleichung
Die Ungleichung, die du beweisen möchtest,
\(
\left(\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}\right)^n \geq a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n,
\)
ist als die arithmetisch-geometrische Ungleichung (AM-GM Ungleichung) bekannt. Sie besagt, dass das arithmetische Mittel (AM) nicht kleiner ist als das geometrische Mittel (GM) einer Liste nichtnegativer Zahlen. Eine der allgemeinsten Formen zur Beweisführung dieser Ungleichung ist der Einsatz der Methode der Lagrange-Multiplikatoren oder der Induktion, allerdings ist in diesem Fall der Induktionsbeweis weniger direkt und intuitiv. Eine allgemein zugängliche und erhellende Methode, die hier Anwendung findet, ist die *Jensen-Ungleichung*, speziell in Kombination mit der Tatsache, dass der Logarithmus eine konkave Funktion ist.
Jensen-Ungleichung & Logarithmus
Die Jensen-Ungleichung besagt, dass für eine konkave Funktion \(f\), gilt:
\(
f\left(\frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}\right) \geq \frac{f(x_1) + f(x_2) + \ldots + f(x_n)}{n}.
\)
Setzen wir für \(f\) den natürlichen Logarithmus \(\ln(x)\) ein, der eine konkave Funktion ist, können wir die AM-GM Ungleichung wie folgt angehen:
Setze \(x_i = a_i\) für \(i = 1, 2, \ldots, n\). Dann erhalten wir aufgrund der Konkavität von \(\ln(x)\):
\(
\ln\left(\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}\right) \geq \frac{\ln(a_1) + \ln(a_2) + \ldots + \ln(a_n)}{n}.
\)
Auf der rechten Seite der Ungleichung steht das arithmetische Mittel der Logarithmen der \(a_i\), was gleich dem Logarithmus des geometrischen Mittels der \(a_i\) ist, da \(\ln\) ein monoton steigender Operator ist:
\(
\frac{\ln(a_1) + \ln(a_2) + \ldots + \ln(a_n)}{n} = \ln\left(\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n}\right).
\)
Durch die Eigenschaften des Logarithmus und das Rückgängigmachen der Logarithmusfunktion (mittels Exponentiation) erhalten wir direkt die AM-GM Ungleichung:
\(
\left(\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}\right) \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n}.
\)
Um dies noch deutlicher zu machen, kann man beide Seiten der Ungleichung zur \(n\)-ten Potenz erheben, was zur Anfangsform der Ungleichung führt:
\(
\left(\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}\right)^n \geq a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n.
\)
Damit ist die Ungleichung bewiesen.
