Die Aufgabe:
Gegeben sind ein Dreieck ABC und ein innerer Punkt P. Weiter seien D der Schnittpunkt
der Parallelen zu AB durch P mit der Geraden BC, E der Schnittpunkt der Parallelen zu BC
durch P mit der Geraden AC und F der Schnittpunkt der Parallelen zu AC durch P mit der
Geraden AB.
Zeigen Sie, dass stets
|AF|/|AB|+|BD|/|BC|+|CE|/|CA| = 1
gilt.
Quelle: Mathematik-Olympiade
Was ich schon habe:
Ich habe mir nun die Dreiecksseiten in jeweils 3 Abschnitte (jeweils begrenzt durch die Paralellen) eingeteilt. Nun sei die Summe der Anteile der ersten Abschnitte an jeweils der entsprechenden Dreiecksseite S1 (also AE/AB+BD/BC+CE/CA), dementsprechend die der zweiten Abschnitte S2 und die der dritten Abschnitte S3.
Somit ist zu zeigen, dass S1=1
Durch die Strahlensätze ergibt sich nun, dass die Summe der Anteile der ersten Abschnitte an der jeweiligen Seite gleich der Summe der der dritten Abschnitte ist:
S1=S3
Außerdem gilt
S1 + S2 + S3=3
⇔2*S1=3-S2
Es wäre also noch zu zeigen, dass S2=1, dann hätten wir S1=1.
Hier komme ich jedoch nicht weiter; könnte mir bitte jemand helfen; von mir aus auch mit einem anderen Ansatz?
