Ableitung eines Skalarprodukts <Ax,x>

Question

Ich brauche mal eure Hilfe. A seine eine reelle nxn Matrix und <,>das Standardskalarprodukt auf dem ℝn.

Nun soll ich die von den folgenden jeweils Ableitungen bestimmen

<Ax,x>, <x,Ax> und <x,x>

Wir haben nun erhalten, dass <Ax,x> abgeleitet Ax ergibt, doch ich verstehe leider nicht warum. Kann mir jemand sagen wie man das macht und wie ich generell darauf komme?

<Ax,x> ausgeschrieben bedeutet doch Ax*x^T und wenn man das ableitet würde ich auf

Ax^T+x^T*A^T=(A+A^T)x^T kommen. Doch wir haben wie gesagt als Lösung Ax erhalten.

Comments

Von den beiden Ausdrücken \( Ax^T \) und \( x^T A^T \) ist einer eine Matrix und der andere ein Vektor (sie lassen sich also nicht addieren).

Außerdem ist \( (x^T A^T)^T = A x \). Man kann also nicht \( x^T A^T = A^T x^T \) schreiben, da auch hier wieder einer der beiden Ausdrücke \( x^T A^T \) und \( A^T x^T \) ein Vektor und der andere eine Matrix ist.

Answer 1

es ist zunächst

\( (Ax)_i = \sum_j A_{i, j} x_j \).

Nun berechnet man

\( Ax \circ x  = \sum_i (Ax)_i x_i \)

\( = \sum_{i, j} A_{i, j} x_j x_i \).

Dies ergibt nach \( x_k \) abgeleitet

\( ( \partial_x Ax \circ x )_k = \frac{d}{d x_k} Ax \circ x \)

\( = \frac{d}{d x_k} \sum_{i, j} A_{i, j} x_j x_i = \sum_{i, j} A_{i, j} (\delta_{j, k} x_i + x_j \delta_{i, k} ) \)

\( = \sum_{i} A_{i, k} x_i + \sum_{j} A_{k, j} x_j =  \sum_{i} ( A_{i, k} + A_{k, i}) x_i \).

An dieser Stelle nehmen wir nun an, dass \( A \) gemäß \( A_{i, k} = A_{k, i} \) symmetrisch ist. Folglich vereinfacht sich der Ausdruck

\( ( \partial_x Ax \circ x )_k = 2 \sum_{i} A_{k, i} x_i \).

Insgesamt ist

\( \partial_x Ax \circ x = 2 A x \).

Ohne die zusätzliche Annahme der Symmetrie von \( A \) ist in der Tat

\( \partial_x Ax \circ x = ( A^T + A ) x \).

Mister

Comments

Ok danke das hat mir schon mal weitergeholfen. Ich muss vielleicht noch genauer schreiben, dass ich eine erweiterte Lagrangefunktion habe gegeben durch

F(x,λ)=<Ax,x>+λ<x,x>

Und abgeleitet haben wir dann erhalten

Ax-λx=0     (1)

<x,x>=0     (2)

Da verstehe ich allerdings die erste Gleichung nicht. Kann mir das jemand erklären?

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Setze für \( A = I \) ein, um \( x \circ x \) zu erhalten, dann ergibt sich auch die erste Gleichung ganz natürlich.

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Das verstehe ich leider nicht...

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Schade, weil das eigentlich ziemlich interessant ist.

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Kannst du es mir vielleicht nochmal irgendwie anders erklären?
Oder mal ein Beispiel zeigen?

Wenn ich für A=I einsetze dann erhalte ich

F(x,λ)=<Ax,x>+λ<x,x>=<Ix,x>+λ<x,x>=<x,x>+λ<x,x>

Aber wenn ich das jetzt nach x ableite wieso erhalte ich dann

Ax-λx=0?

<x,x> abgeleitet müsste doch x^T*x^T ergeben?

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Nein, der Term \( x \circ x \) entsteht aus \( Ax \circ x \) durch \( A = I \).