Quadratische Gleichungen in allgemeinen Ringen (Restklassenring ℤ/8ℤ)?

Question

Kann mir das bitte einer kurz verständlich erklären:

"Die quadratische Gleichung

    x² - 1 = 0

hat im Restklassenring ℤ/8ℤ die vier Lösungen 1, 3, 5 und 7."

aus: Quadratische Gleichungen in allgemeinen Ringen (Wikipedia)

 

Answer 1

x^2 - 1 = 0

Wir setzten einfach mal ein

1^2 - 1 = 0
0 = 0

3^2 - 1 = 0
9 - 1 = 0
8 = 0 Da wir in der Resteklasse rechnen. Rechnen wir MODULO 8. Also Rest bei Teilung durch 8.
0 = 0

Damit ist auch die Gleichung erfüllt.

5^2 - 1 = 0
25 - 1 = 0
24 = 0 Auch hier rechnen wir wieder MODULO 8. Also Rest bei Teilung durch 8.
0 = 0

7^2 - 1 = 0
49 - 1 = 0
48 = 0 Und wieder MODULO 8
0 = 0

Damit haben wir die Lösungen jetzt nur nachgewiesen, dass es welche sind. Ich denke jetzt dürfte es für dich klar sein oder?