Beweis Äquivalenz der Aussagen (1) A∪B⊆B, (2) A⊆B, (3) A⊆A∩B

Question

Aufgabe:

Seien A,B Mengen, zu beweisen ist die Äquivalenz der folgenden Aussagen
(1) A∪B⊆B,
(2) A⊆B,
(3) A⊆A∩B

Problem/Ansatz:

ich muss die Aufgabe im Rahmen des Physik Vorkurses bearbeiten, mir ist bewusst, dass ich (1) ⇔ (2) ⇔ (3) ⇔ (1) zeigen muss und es leuchtet mir auch ein, dass diese Aussagen äquivalent sind. Allerdings fehlt mir eine Vorstellung davon, wie man überhaupt an den Beweis herangeht. Für Hilfe bin ich sehr dankbar!

Answer 1

dass ich (1) ⇔ (2) ⇔ (3) ⇔ (1) zeigen muss

Dazu genügt es, (1) ⇒ (2), (2) ⇒ (3) und (3) ⇒ (1).

Beispiel für (1) ⇒ (2).

Seien A, B Mengen mit A∪B ⊆ B.

Sei n ∈ A. Dann ist n ∈ A∪B laut Defintion von ∪. Wegen A∪B ⊆ B ist dann n ∈ B laut Definition von ⊆. Also gilt n ∈ A ⇒ n ∈ B für jedes n. Laut Definition von ⊆ ist dann A ⊆ B.