Äquivalenz zweier Normen (Beweis ohne Maximumsnorm möglich?)

Question

Der Beweis, dass eine Folge genau dann bzgl. einer Norm konvergiert, wenn sie bzgl. einer anderen konvergiert, wurde bei uns im Skript über einen Hilfssatz gemacht, der die Eigenschaft der Maxiumsnorm nutzt:

||x|| ≤ α||x||_∞

Hier meine Beweisidee, die ohne diesen Hilfssatz auskommt über das EpsilonDelta Krit.:

Seien ||.||₁ ||.||₂ zwei Normen, (a_n) eine Folge konvergent gegen a bezüglich ||.||1 .

Sei ε₂>0 beliebig.

Wähle nun ε₁ = \(\frac{ε_2 * ||a_n - a||_1}{ ||a_n - a||_2} \)  > 0

Wegen der Konvergenz von ||.||1 gibt es ein n0, so dass für alle n≥n0 gilt

||a_n - a||₁ ≤ ε₁ = \( \frac{ε_2 * ||a_n - a||_1}{ ||a_n - a||_2} \)  

⇔ 1≤ \( \frac{\varepsilon_2}{ ||a_n - a||_2} \)

⇔ ||a_n - a||₂ ≤ ε₂

Kann man das so machen, oder ist da prinzipiell irgendwas falsch dran?

:D

EDIT: Die Brüche werden leider nicht richtig angezeigt bei mir, aber sie sind eigentlich so eingegeben, wie die Vorlage es verlangt..

Comments

Okay, also was wahrscheinlich nicht geht, ist ε₁ schon in Abhängigkeit von n zu wählen, bevor ich überhaupt ein n₀ wähle?

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Versuch mal ε_1 statt ε₁, usw.

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Okay danke, leider kann man anscheinend den Ausgangsthread nur einmal bearbeiten.

Dann nochmal hier:

Wähle

ε₁ = \( \frac{ε_2 * ||a_n - a||_1}{ ||a_n - a||_2} \)  > 0

Wegen der Konvergenz von ||.||1 gibt es ein n0, so dass für alle n≥n0 gilt

||a_n - a||₁ ≤ ε₁ = \( \frac{ε_2 * ||a_n - a||_1}{ ||a_n - a||_2} \) 

⇔ 1≤  \( \frac{ ε_2}{ ||a_n - a||_2 }\)

⇔ ||a_n - a||₂ ≤ ε₂

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Die Brüche werden leider nicht richtig

Du darfst \(\LaTeX\) und HTML nicht mischen.

Answer 1

Wähle nun ε₁ = \(\frac{ε_2 * ||a_n - a||_1}{ ||a_n - a||_2} \)  > 0

Welchen Wert soll n haben?

Comments

Okay so geht es nicht.

Wenn mein n fest setze, dann zeige ich es ja nicht für alle n>=n₀

Andererseits wenn ich in die Wahl für ε₁  , ein n₀ statt n einsetze, kann ich am Ende nicht zeigen, dass ||a_n - a||₂ ≤ ||a_n0 - a||₂ ≤ ε₂