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Aufgabe:

Berechnen sie die Gleichung einer tanzrationalen Funktion 3 Grades mit folgenden Eigenschaften: Sie hat einen Wendepunkt im Ursprung. Der Punkt P(1/3) liegt auf dem Graphen. Der Flächeninhalt im Intervall (0;1) zwischen x-Achse und Kurve ist 3.


Problem/Ansatz:

Ich habe erst die Bedingungen:

f(0)=0

f"(0)=0

f(1)=3

Was sind die anderen?

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Du brauchst nur 4 Gleichungen
F ( x ) = ∫ f ( x ) dx zwischen 0 und 1 gleich 3

Avatar von 123 k 🚀

∫ f ( x ) dx zwischen 0 und 1 gleich 3

Könnte sich bei dieser Funktion als etwas trügerisch erweisen.

Ja, doch wie kann ich hier eine Bedingungen daraus machen?

Wie sieht das als Bedingung aus, bzw. ist es zu rechnen?

Vielen Dank

Also mein Rechner hat sogar 2 Funktionen die passen. Zu Rechnen ist es also, Und ich habe auch eine Idee für den Ansatz. Man sollte eventuell die Nullstellenform probieren.

Hier meine Berechnungen

gm-162.jpg
f ( x ) = --6 * x^3 + 9 * x

mfg Georg

vielen Dank für die ausführliche Lösung!!!

Erste Lösung ist Richtig. zweite Lösung könnte folgende Funktion sein

f(x) = (3·√7 + 9)·x^3 + (- 3·√7 - 6)·x

Die Lösung ist aber etwas trickreich, da die Fläche in 2 Teile aufgeteilt ist.

Hallo coach,
mir war es auch klar das mein Lösungsansatz
veraussetzte das im Intervall 0..1 die Funktion
die x-Achse nicht schneiden dürfe.
Es fiel mir aber nichts Besseres ein als dies zu
versuchen.


Ist ja auch völlig ok. Vermutlich hatte der Lehrer auch nur die von dir genannte Lösung im Sinn, als er die Aufgabe stellte.

Jede Funktion 3. Grades ist symmetrisch zu ihrem Wendepunkt (hier der Ursprung)
f(x) = ax3 + bx
f(1) = 3  →  a+b = 3  →  b = 3 - a
f(x) = ax3 + (3-a) ·x

wenn man voraussetzt, dass zwischen 0 und 1 keine Nullstelle von f  liegt 

kann die gesamte Fäche ober-  oder unterhalb der x-Achse liegen:
| 01 (ax3 + (3-a)·x) dx |  = ... = | -1/4 a + 3/2 | = 3

           →  a = -6  oder  a = 18    [ mit b = 9  bzw. -15 ]
f1(x) = -6x3 + 9x    ,  f2(x) = 18x3 - 15x  

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