Bedingten Polynomgleichung 3 Grades

Question

Aufgabe:

Berechnen sie die Gleichung einer tanzrationalen Funktion 3 Grades mit folgenden Eigenschaften: Sie hat einen Wendepunkt im Ursprung. Der Punkt P(1/3) liegt auf dem Graphen. Der Flächeninhalt im Intervall (0;1) zwischen x-Achse und Kurve ist 3.

Problem/Ansatz:

Ich habe erst die Bedingungen:

f(0)=0

f"(0)=0

f(1)=3

Was sind die anderen?

Answer 1

Du brauchst nur 4 Gleichungen
F ( x ) = ∫ f ( x ) dx zwischen 0 und 1 gleich 3

Comments

∫ f ( x ) dx zwischen 0 und 1 gleich 3

Könnte sich bei dieser Funktion als etwas trügerisch erweisen.

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Ja, doch wie kann ich hier eine Bedingungen daraus machen?

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Wie sieht das als Bedingung aus, bzw. ist es zu rechnen?

Vielen Dank

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Also mein Rechner hat sogar 2 Funktionen die passen. Zu Rechnen ist es also, Und ich habe auch eine Idee für den Ansatz. Man sollte eventuell die Nullstellenform probieren.

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Hier meine Berechnungen

f ( x ) = --6 * x^3 + 9 * x

mfg Georg

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vielen Dank für die ausführliche Lösung!!!

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Erste Lösung ist Richtig. zweite Lösung könnte folgende Funktion sein

f(x) = (3·√7 + 9)·x^3 + (- 3·√7 - 6)·x

Die Lösung ist aber etwas trickreich, da die Fläche in 2 Teile aufgeteilt ist.

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Hallo coach,
mir war es auch klar das mein Lösungsansatz
veraussetzte das im Intervall 0..1 die Funktion
die x-Achse nicht schneiden dürfe.
Es fiel mir aber nichts Besseres ein als dies zu
versuchen.

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Ist ja auch völlig ok. Vermutlich hatte der Lehrer auch nur die von dir genannte Lösung im Sinn, als er die Aufgabe stellte.

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Jede Funktion 3. Grades ist symmetrisch zu ihrem Wendepunkt (hier der Ursprung)
f(x) = ax³ + bx
f(1) = 3  →  a+b = 3  →  b = 3 - a
f(x) = ax³ + (3-a) ·x

wenn man voraussetzt, dass zwischen 0 und 1 keine Nullstelle von f  liegt 

kann die gesamte Fäche ober-  oder unterhalb der x-Achse liegen:
| ₀∫¹ (ax3 + (3-a)·x) dx |  = ... = | -1/4 a + 3/2 | = 3

           →  a = -6  oder  a = 18    [ mit b = 9  bzw. -15 ]
f₁(x) = -6x³ + 9x    ,  f₂(x) = 18x³ - 15x