e^(7x^2+y^2+16) ableiten und Extrema bestimmen.

Question

Bitte schnell um Hilfe

Aufgabe:

e^(7x^2+y^2+16)

Aufgabe: Maximum und Minimum Werte bestimmen.

Ansatz:

Ableitungen 1. und 2. Grades bilden, dann Hesse Matrix bestimmen und schlussfolgern.

Lösung: Minimum an Stelle (0/0) hat Wert:  e^16.

Ich brauche bitte Hilfe beim Rechenweg

Comments

Mein Ansatz wäre:

1. Ableitung nach x:  e^(7x^2+y^2+16) * 14x

2. Ableitung nach x:  e^(7x^2+y^2+16) * 14x *14x + e^(7x^2 + y^2 +16) *14

(glaube da ist was falsch? Muss ich die Produktregel anwenden? )

1. Ableitung nach y: e^(7x^2+y^2+16) * 2y

2. Ableitung nach y:  e^(7x^2+y^2+16) * 2y *2y + e^(7x^2+y^2+16) * 2

nun Ableitung nach x,y :  

Ableitung nach y,x: 


Hesse Matrix ? 

---

(glaube da ist was falsch? Muss ich die Produktregel anwenden? )

Warum fragst du da noch.?

Du willst doch ein Produkt ableiten...

Answer 1

Ansatz:

Ableitungen 1. und 2. Grades bilden, dann Hesse Matrix bestimmen

Und warum tust du es nicht?

Übrigens: Mit etwas klarem Blick ist dieser ganze Aufwand hier überflüssig.

Weil Quadrate nicht negativ sein können, ist der Exponent

(7x²+y²+16)  mindestens 16 oder größer.

Also ist das Minimum des Exponenten 16, und weil die e-Funktion den kleinsten Wert hat, wenn ihr Exponent am kleinsten ist, muss das Minimum e¹⁶ sein.

Comments

Hi, danke! Du hast vollkommen recht. Trotzdem ist verlangt, dass ich es einmal komplett durchrechne mit Rechenweg.

1. Ableitung nach x:  e^(7x2+y2+16) * 14x

2. Ableitung nach x:  e^(7x2+y2+16) * 14x *14x + e^(7x2 + y2 +16) *14

(glaube da ist was falsch? Muss ich die Produktregel anwenden? )


1. Ableitung nach y: e^(7x2+y2+16) * 2y

2. Ableitung nach y:  e^(7x2+y2+16) * 2y *2y + e^(7x2+y2+16) * 2

nun Ableitung nach x,y : 

Ableitung nach y,x: 


Hesse Matrix ? 

Answer 2

Maximum und Minimum Werte bestimmen.

Hier ist überhaupt keine Ableitung nötig.

f(x,y) = e^(7x^{2}+y^{2}+16)

7x^2 + y^2 ist nie negativ.

7x^2 ist nie negativ

y^2 ist nie negativ

7x^2 + y^2 + 16 ist nie kleiner als 16.

Die Exponentialfunktion h(x):= e^x ist streng monoton steigend.

==>

Für den minimalen Wert f(x,y) = e^(7x^{2}+y^{2}+16) den kleinstmöglichen Exponenten wählen.

 e^(7*0^{2}+0^{2}+16) = e^16. An der Stelle (0|0).