Nullstellenberechnung p-q-Formel Negative Zahl Integralrechnung

Question

Aufgabe:

Funktion: f(x) = -1/5x^3 + 2x^2 -5x

Berechne die Nullstellen und berechne anschließend den Inhalt der Fläche, den der Graph mit der x-Achse einschließt.

Problem/Ansatz:

Ich habe die Funktion durch -1/5 geteilt und anschließend ausgeklammert. So liegt die erste Nullstelle also bei N1(0/0).

Nun wollte ich die zweite Nullstelle mit der p-q-Formel berechnen, jedoch kommt beim Aufstellen dieser eine negative Wurzel raus. Ich weiß, dass N2: N2(5/0) ist. Also muss ich das ja irgendwie berechnen.

Kann mir da jemand helfen?

Lg :)

Answer 1

............................

Answer 2

f(x) = - 1/5·x^3 + 2·x^2 - 5·x = -1/5·x·(x^2 - 10·x + 25) = 0 --> x = 0 ∨ x = 5 (2-fach)

A = ∫(- 1/5·x^3 + 2·x^2 - 5·x, x, 0, 5) = -125/12 → Die Fläche beträgt 125/12 FE.

Comments

Erkenne einfach die Binomische Formel in Termen wie

x^2 - 2·n·x + n^2 = (x - n)^2

x^2 - 2·5·x + 5^2 = (x - 5)^2

x^2 - 10·x + 25 = (x - 5)^2

Ist das so klar?

Answer 3

Wenn du schon in x²-10x+25=0 nicht die Anwendbarkeit der binomischen Formel erkennst, dann müsstest du mit der  pq-Formel und den Werten p=-10, q=25 die Doppellösung x=5 erhalten.

Comments

Ich habe meinen Fehler jetzt, vielen Dank. Trotzdem die Frage: wo könnte ich die Anwendbarkeit der binomische Formel dort sehen? Was genau meinst du damit? Ich möchte das gerne genau verstehen... darum freue mich, wenn du mir das nochmal erklären würdest.

Liebe Grüße:)

---

Wie man x²-10x+25 noch schreiben kann steht in der Antwort von Wolfgang

(und bei georgborn nach "quadratische Ergänzung").

Answer 4

Hallo regni,

bei Division durch (-1/5) erhält man

x^3 - 10·x^2 + 25·x  = 0  ⇔  x·(x^2 - 10·x + 25)  = 0  ⇔  x·(x - 5)² = 0 

Bei der pq-Formel muss unter der Wurzel 0 rauskommen.

Gruß Wolfgang

Answer 5

f ( x ) = -1/5 * x^3 + 2*x^2 -5*x
x ausklammern
f ( x ) = x * ( -1/5 * x^2 + 2*x -5 )
Satz vom Nullprodukt
x = 0
und
-1/5 * x^2 + 2*x -5 = 0 | * -5
x^2 - 10 * x + 25 = 0
quadratische Ergänzung
x^2 - 10 * x + 5^2 = - 25 + 25
( x - 5 )^2 = 0
x = 5

f ( x ) = -1/5 * x^3 + 2*x^2 -5*x
Stammfunktion
S ( x ) = -1/5 * x^4 / 4 + 2*x^3 / 3 - 5*x^2 / 2
S ( x ) = -1/20 * x^4  + 2/3 * x^3 - 5/2 * x^2

∫ -4/5 * x^4  + 2/3 * x^3 - 5/2 * x^2 dx zwischen 0 und 5
Bei null entfällt alles
-4/5 * 5^4  + 2/3 * 5^3 - 5/2 * 5^2
-125/12
Flächen sind immer positiv
abs(-125/12)
A = 125/12