Stochastik Würfelaufgabe

Question

Hallo

Ich verstehe folgende Aufgabe nicht und konnte auch kein Ansatz finden.

Wir würfeln viermal mit einem idealen Würfel; die erzielten Augenzahlen seien A1 , A2 , A3 und A4. Nun bilden wir das Produkt P = A1 · A2 · A3 · A4.
(a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle vier Augenzahlen verschieden sind?
(b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass P eine gerade Zahl ist?
(c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass P ohne Rest durch 25 teilbar ist?
(d) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass A4 > A1 + A2 + A3 gilt?

besten Dank im Voraus

LG

Dave

Answer 1

(a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle vier Augenzahlen verschieden sind?

6/6 * 5/6 * 4/6 * 3/6 = 5/18 = 0.2778

(b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass P eine gerade Zahl ist? 

1 - 3/6 * 3/6 * 3/6 * 3/6 = 15/16 = 0.9375

(c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass P ohne Rest durch 25 teilbar ist? 

6 * 1/6 * 1/6 * 5/6 * 5/6 + 4 * 1/6 * 1/6 * 1/6 * 5/6 + 1/6 * 1/6 * 1/6 * 1/6 = 19/144 = 0.1319

(d) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass A4 > A1 + A2 + A3 gilt?

P(1114, 1115, 1116, 1125, 1126, 1136, 1226)

Dabei können die ersten drei Würfel evtl noch vertauscht werden. Ich habe daher nur eine Möglichkeit exemplarisch notiert.

1/6 * 1/6 * 1/6 * 1/6 * (1 + 1 + 1 + 3 + 3 + 3 + 3) = 5/432 = 0.01157

Comments

Danke für deine Hilfe!

könntest du mir kurz erklären, warum das (b) so gelöst werden muss?

Lg

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Damit das Produkt eine gerade Zahl ist muss mind. ein Faktor gerade sein. "Mind. 1 Faktor" wird aber immer über das Gegenereignis "Kein Faktor" gerechnet.

Answer 2

Der erste Wurf ist ja egal.

Dass der zweite davon verschieden ist hat p= 5/6 ; denn die Zahl, die

beim ersten Mal gefallen ist, darf sich ja nicht wiederholen.

Für den 3. Wurf fallen schon zwei weg, die schon da waren, also

ist hier die Wahrscheinlichkeit, dass der 3. von den

ersten beiden verschieden ist  p = 4/6.

Und für den 4. Wurf bleiben also nur noch 3 günstige

übrig , also p= 3/6.

Insgesamt  p ( 4 verschiedene) = 5/6  *  4/6  * 3/6 = 5/18 ≈ 27,8%

b) P ist genau dann eine gerade Zahl, wenn mindestens einer der 4 Würfe gerade

war.  also für das Gegenteil:  p=(1/2)^4 = 1/16 = 6,25%

Deine Lösung also 15/16.

c) Das ist der Fall, wenn mindestens  2 mal eine 5 gewürfelt wurde.

Also für die Fälle  55xx , 5x5x , 5xx5, x55x, x5x5, xx55

Das sind 6 Fälle, von denen jeder die Wahrscheinlichkeit 1/6 * 1/6 hat,

also ist hier p = 6 * 1/16 = 3/8

d) Da würde ich das mal mit einem Baum versuchen