Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse und schneidet diese bei 4. Die x-Achse wird bei \(x=2\) geschnitten. Bei \(x=-1\) befindet sich eine Wendestelle.
Die x-Achse wird bei \(x=2\) geschnitten und damit auch wegen der Achsensymmetrie bei \(x=-2\) , bei N und bei -N:
Ich verwende nun die Nullstellenform der ganzrationalen Funktion vierten Grades:
\(f(x)=a(x-2)(x+2)(x-N)(x+N)\\=a(x^4-N^2x^2-4x^2+4N^2) \)
Um die Wendepunkteigenschaft bei \(x=-1\) anwenden zu können, brauche ich die 2. Ableitung von \(f\):
\(f'(x)=a(4x^3-2N^2x-8x) \)
\(f''(x)=a(12x^2-2N^2-8) \)
\(f''(-1)=a(12-2N^2-8)=a(4-2N^2) =0\)
\(N^2=2\)
\(f(x)=a(x^4-2x^2-4x^2+8)=a(x^4-6x^2+8) \)
schneidet diese bei \(y=4\) Somit an der Stelle \(x=0\):
\(f(0)=8a=4 \)
\(a=0,5\)
\(f(x)=0,5(x^4-6x^2+8) \)
