Bitte überprüfen: Wendepunkt berechnen

Question

Aufgabe: Untersuchen sie den Graphen der Funktion auf Wendepunkte. Geben Sie die Steigung des Graphen im Wendepunkt an.

Ausgangsfunktion: g(x)=x^3+3*x^2+3*x

notwendige Bedingung: f ''(x)=0

6*x+6=0

x=-1

hinreichende Bedingung: f ''(x)=0 v f '''(x) ≠0

f '''(x)=6 >0 → Minimum

Ist es soweit richtig? Wie berechnene ich nun die Steigung im Wendepunkt?

LG

Comments

Mit der ersten Ableitung.

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Also soll ich -1 in die 1. Ableitung einsetzten? Dann kommt dort 0 heraus. Aber die Steigung in einem Wendepunkt ist doch nicht 0, oder?

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Ich weiß nicht, ob du korrekt abgeleitet hast. Es kann auch ein Sattelpunkt vorliegen.

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f(x)=x^3+3*x^2+3*x

f '(x)= 3x^2+6*x+3

f ''(x)= 6*x+6

f '''(x)= 6

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Es ist ein Sattelpunkt.

Answer 1

stell vielleicht mal die Ausgangsfunktion ein.

f '''(x)=6 >0 → Minimum

Wieso du hier auf ein Minimum kommst versteh ich nicht. Wenn dann ist es ein Rechts-Links-Wendepunkt.

Ist es soweit richtig? Wie berechnene ich nun die Steigung im Wendepunkt?

In die erste Ableitung den x - Wert des Wendepunktes einsetzten.

f'(x) = 3x^2 + 6x + 3

f'(-1) = 3 * (-1)^2 + 6 * (-1) + 3 = 0

Comments

Sorry hatte die Ausgangsfunktion vergessen. Jetzt steht sie oben.

f '''(x)=6 >0 → Minimum

Wieso du hier auf ein Minimum kommst versteh ich nicht. Wenn dann ist es ein Rechts-Links-Wendepunkt

Ich habe gelernt, dass wenn die 3. Ableitung größer als 0 ist, dass dann ein Minimum vorliegt. Bei kleiner als 0, liegt dementsprechend ein Maximum vor. Ist die 3. Ableitung gliech Null handelt es sich um einen Sattelpunkt.

Woher weiß man denn, wann es eine Rechts-Links-Wendepunkt und wann es ein Links-Rechts-Wendepunkt ist?

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Ein recht-links Wendepunkt liegt vor, wenn bei der hinreichenden Bedingung also f'''(x) ≠ 0 ein positiver Wert rauskommt und ein linksrechts Wendepunkt wenn ein negativer Wert rauskommt. Wenn 0 herauskommt ist es ein Sattelpunkt, der aber auch ein spezieller Wendepunkt ist.

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Wenn ( bei f'''(x)) 0 herauskommt ist es ein Sattelpunkt,

Bei f(x) = x⁴  haben an der Stelle x=0  alle Ableitungen den Wert 0.

Dort liegt aber ein Tiefpunkt vor.

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Das verstehe ich nicht. Wenn die 3.Ableitung 0 ist, dann liegt doch ein Sattelpunkt vor?

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Ein Sattelpunkt (= Wendepunkt mit waagrechter Tangente) liegt an einer Stelle x genau dann vor, wenn gilt:

f '(x) = 0  und f "(x) = 0 mit Vorzeichenwechsel.

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f '(x) = 0  und f "(x) = 0  unf f '''(x) ≠ 0    →  Wendepunkt