Antwort mit KI erzeugt
Beweise oder Widerlege:
Die zu beweisende oder zu widerlegende Aussage lautet:
\(
(A \oplus B) \cap C = ((A \setminus B) \cap C) \cup ((B \setminus A) \cap C)
\)
Symmetrische Differenz:
Zunächst ist wichtig zu verstehen, was die symmetrische Differenz bedeutet. Die symmetrische Differenz zweier Mengen \(A\) und \(B\), bezeichnet mit \(A \oplus B\), besteht aus den Elementen, die zu genau einer der beiden Mengen gehören, d.h.,
\(
A \oplus B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)
\)
Die Aufgabe bearbeiten:
Nun gehen wir die Gleichung durch. Die linke Seite ist \( (A \oplus B) \cap C \), was bedeutet, dass wir diejenigen Elemente betrachten, die entweder nur zu \(A\) oder nur zu \(B\) (aber nicht zu beiden) gehören und gleichzeitig Element von \(C\) sind.
_Die linke Seite umformen:_
\(
(A \oplus B) \cap C = ((A \setminus B) \cup (B \setminus A)) \cap C
\)
Anwenden der Distributivgesetze der Mengenlehre (Verteilung von \(\cap\) über \(\cup\)):
\(
= ((A \setminus B) \cap C) \cup ((B \setminus A) \cap C)
\)
Überprüfung der rechten Seite:
Die rechte Seite der Gleichung, wie sie in der Aufgabenstellung aufgeführt ist, lautet:
\(
((A\setminus B) \cap C) \cup ((B\setminus A) \cap C)
\)
Fazit:
Da die umgeformte linke Seite mit der rechten Seite der ursprünglichen Gleichung übereinstimmt, haben wir gezeigt, dass:
\(
(A \oplus B) \cap C = ((A \setminus B) \cap C) \cup ((B \setminus A) \cap C)
\)
also ist die Aussage bewiesen.
Es scheint jedoch einen kleinen Fehler in der ursprünglichen Aussage zu geben – es wurde nach Gleichheit mit einem Schnitt (\(\cap\)) gefragt, aber die korrekte Operation in diesem Kontext und die, welche bewiesen wurde, ist Vereinigung (\(\cup\)). Somit korrigiere ich die ursprüngliche Aussage zu:
\(
(A \oplus B) \cap C = ((A \setminus B) \cap C) \cup ((B \setminus A) \cap C)
\)
und dieser Ausdruck ist, wie dargelegt, korrekt und bewiesen.
